Question

（2011•葫蘆島）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（n，0）（n＞0），拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過原點(diǎn)O和點(diǎn)P．已知正方形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)為A（2，2），B（3，2），D（2，3）．
（1）求c，b并寫出拋物線對稱軸及y的最大值（用含有n的代數(shù)式表示）；
（2）求證：拋物線的頂點(diǎn)在函數(shù)y=x²的圖象上；
（3）若拋物線與直線AD交于點(diǎn)N，求n為何值時(shí)，△NPO的面積為1；
（4）若拋物線經(jīng)過正方形區(qū)域ABCD（含邊界），請直接

3≤n≤4

寫出n的取值范圍．
（參考公式：y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）

Answer 1

分析：（1）把拋物線經(jīng)過的兩個(gè)點(diǎn)O點(diǎn)和P點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式就可以求出c、b的值，從而也就可以求出拋物線的解析式，再化為頂點(diǎn)式就可以求出對稱軸和最大值．
（2）通過（1）的解析式表示出拋物線的頂點(diǎn)式，再代入y=x²的解析式，就可以證明拋物線的頂點(diǎn)在y=x²上．
（3）由點(diǎn)A、點(diǎn)D的坐標(biāo)可以表示出N的坐標(biāo)，再根據(jù)n的取值范圍和三角形的面積建立等量關(guān)系求出n的值．
（4）由拋物線經(jīng)過正方形區(qū)域ABCD（含邊界），分別把A（2，2），B（3，2），C（3，3），D（2，3）中的橫、縱坐標(biāo)代入拋物線解析式y(tǒng)=-x²+nx，得n=3；n=

11

3

；n=4；n=

7

2

．因此，n的取值范圍是3≤n≤4．

解答：解：（1）把x=0，y=0代入y=-x²+bx+c，得c=0．
再把x=n，y=0代入y=-x²+bx，
得-n²+bn=0．
∵n＞0，
∴b=n．
∴y=-x²+nx=-（x-

n

2

）²+

n2

4

，
∴y的最大值為

n2

4

．
，（2）∵拋物線頂點(diǎn)為（

n

2

，

n2

4

），
把x=

n

2

代入y=x²=

n2

4

，
∴拋物線的頂點(diǎn)在函數(shù)y=x²的圖象上．

（3）當(dāng)x=2時(shí)，y=2n-4，
∴點(diǎn)N為（2，2n-4）．
當(dāng)n=2時(shí)，P、N兩點(diǎn)重合，△NPO不存在．
當(dāng)n＞2時(shí)，解

1

2

n（2n-4）=1，得n=1±

2

．
∵n＞2，
∴n=1+

2

．
當(dāng)0＜n＜2時(shí)，解

1

2

n（4-2n）=1，得n₁=n₂=1．
∴n=1+

2

或n=1時(shí)，△NPO的面積為1．

（4）3≤n≤4．

點(diǎn)評：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的最值，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式及三角形面積公式的運(yùn)用．