Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣ x2+bx+c與x軸交于A、D兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，四邊形OBCD是矩形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），已知點(diǎn)E（m，0）是線段DO上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作PE⊥x軸交拋物線于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)G，交BD于點(diǎn)H．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上方時(shí)，請用含m的代數(shù)式表示PG的長度；
（3）在（2）的條件下，是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以P、B、G為頂點(diǎn)的三角形與△DEH相似？若存在，求出此時(shí)m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=﹣ x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（1，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，4），

∴ ，解得 ，

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2﹣ x+4

（2）

解：∵E（m，0），B（0，4），PE⊥x軸交拋物線于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)G，

∴P（m，﹣ m2﹣ m+4），G（m，4），

∴PG=﹣ m2﹣ m+4﹣4=﹣ m2﹣ m；

點(diǎn)P在直線BC上方時(shí)，故需要求出拋物線與直線BC的交點(diǎn)，

令4=﹣ m2﹣ m+4，解得m=﹣2或0，

即m的取值范圍：﹣2＜m＜0，

PG的長度為：﹣ m2﹣ m（﹣2＜m＜0）

（3）

解：在（2）的條件下，存在點(diǎn)P，使得以P、B、G為頂點(diǎn)的三角形與△DEH相似．

∵y=﹣ x2﹣ x+4，

∴當(dāng)y=0時(shí)，﹣ x2﹣ x+4=0，

解得x=1或﹣3，

∴D（﹣3，0）．

當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上方時(shí)，﹣2＜m＜0．

設(shè)直線BD的解析式為y=kx+4，

將D（﹣3，0）代入，得﹣3k+4=0，

解得k= ，

∴直線BD的解析式為y= x+4，

∴H（m， m+4）．

分兩種情況：

①如果△BGP∽△DEH，那么 ，

即 = ，

解得m=﹣3或﹣1，

由﹣2＜m＜0，故m=﹣1；

②如果△PGB∽△DEH，那么 ，

即 = ，

由﹣2＜m＜0，解得m=﹣ ．

綜上所述，在（2）的條件下，存在點(diǎn)P，使得以P、B、G為頂點(diǎn)的三角形與△DEH相似，此時(shí)m的值為﹣1或﹣ ．

【解析】（1）將A（1，0），B（0，4）代入y=﹣ x2+bx+c，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）由E（m，0），B（0，4），得出P（m，﹣ m2﹣ m+4），G（m，4），則PG=﹣ m2﹣ m+4﹣4=﹣ m2﹣ m，點(diǎn)P在直線BC上方時(shí)，故需要求出m的取值范圍；（3）先由拋物線的解析式求出D（﹣3，0），則當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上方時(shí)，﹣2＜m＜0．再運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式為y= x+4，于是得出H（m， m+4）．當(dāng)以P、B、G為頂點(diǎn)的三角形與△DEH相似時(shí)，由于∠PGB=∠DEH=90°，所以分兩種情況進(jìn)行討論：①△BGP∽△DEH；②△PGB∽△DEH．都可以根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例關(guān)系式，進(jìn)而求出m的值．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的性質(zhì)，需要了解增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．