Question

設a為整數(shù)，使得關于x的方程ax²-（a+5）x+a+7=0至少有一個有理根，試求方程所有可能的有理根．

Answer 1

分析：首先從特殊值入手，a=0，求出x的值，再利用求根公式確定a的取值，從而確定x的取值．

解答：解：當a=0時，方程的有理根為x=

7

5

；
當a≠0時，此時原方程為一元二次方程，
由判別式（a+5）²-4a（a+7）≥0，
即3a²+18a-25≤0，得

-9- 156

3

≤a≤

-9+ 156

3

，整數(shù)a只能在其中的非零整數(shù)1，-1，-2，-3，-4，-5，-6，-7中取值
由方程得x=

a+5± 52-3(a+3)2

2a

（1）
當a=1，由（1）得x=2和4；當a=-1時，方程無有理根；
當a=-2，由（1）得x=1和-

5

2

；當a=-3時，方程無有理根；
當a=-4，由（1）得x=-1和

3

4

；當a=-5時，方程無有理根；
當a=-6，由（1）得x=

1

2

和-

1

3

；當a=-7時，由（1）得x=

3

7

和-

1

7

．

點評：此題主要考查了一元二次方程整數(shù)解的情況，以及分類討論思想的應用．