Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣ ），且與y軸交于點(diǎn)C（0，2），與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊）

（1）求拋物線的解析式及A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若（1）中拋物線的對稱軸上有點(diǎn)P，使△ABP的面積等于△ABC的面積的2倍，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（1）中拋物線的對稱軸l上是否存在一點(diǎn)Q，使AQ+CQ的值最小？若存在，求AQ+CQ的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣ ），可以假設(shè)拋物線為y=a（x﹣4）2﹣ 把點(diǎn)（0，2）代入得到a= ，

∴拋物線的解析式為y= （x﹣4）2﹣ ．

令y=0得到 （x﹣4）2﹣ =0，解得x=2或6，

∴A（2，0），B（6，0）

（2）

解：設(shè)P（4，m），

由題意： 4|m|=2× ×4×2，解得m=±4，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)（4，4）或（4，﹣4）

（3）

解：存在．理由如下：

∵A、B關(guān)于對稱軸對稱，連接CB交對稱軸于Q，連接QA，此時QA+QC最短（兩點(diǎn)之間線段最短），

∴QA+QC的最小值=QA+QC=QB+QC=BC= = ．

【解析】（1）因為拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣ ），所以可以假設(shè)拋物線為y=a（x﹣4）2﹣ 把點(diǎn)（0，2）代入得到a= ，令y=0，解方程即可求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)．（2）設(shè)P（4，m），由題意可得 4|m|=2× ×4×2，解方程即可．（3）存在．因為A、B關(guān)于對稱軸對稱，連接CB交對稱軸于Q，連接QA，此時QA+QC最短（兩點(diǎn)之間線段最短），
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減�。�