Question

【題目】已知△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，且CD=2，點(diǎn)E是線段BD上任意一點(diǎn)，以CE為邊向左側(cè)作正方形CEFG，EF交BC于點(diǎn)M，連接BG交EF于點(diǎn)N．

（1）證明：△CAE≌△CBG；
（2）設(shè)DE=x，BN=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最大值；
（3）當(dāng)DE=2 ﹣2時(shí)，求∠BFE的度數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形EFGC是正方形，

∴CG=CE，∠GCE=∠GFE=∠FEC=90°，

∵∠ACB=∠GCE=90°，

∴∠GCB=∠ECA，

∵GC=CE，CB=CA，

∴△CAE≌△CBG．

（2）解：∵CB=CA，CD⊥AB，∠ACB=90°，

∴CD=BD=AD=2，∠CBA=∠A=45°，

∵△CAE≌△CBG，

∴∠CBG=∠A=45°，

∴∠GBA=∠GBC+∠CBA=90°，

∵∠BEN+∠BNE=90°，∠BEN+∠CED=90°，

∴∠BNE=∠CED，∵∠EBN=∠CDE=90°，

∴△NBE∽△EDC，

∴ = ，

∴ = ，

∴y=﹣ （x﹣1）2+ ，

∵﹣ ＜0，

∴x=1時(shí)，y的最大值為 ．

（3）解：在CD上取一點(diǎn)K，使得DE=DK=2 ﹣2，

∴EK=4﹣2 ，

∵CK=CD﹣DK=2﹣（2 ﹣2）=4﹣2 ，

∴KC=EK，

∵∠EKD=∠KED=45°，

∴∠KEC=∠KCE=22.5°，

∴∠CED=67.5°，

∴∠FEB=90°﹣67.5°=22.5°，

∵BE=BD﹣DE=4﹣2 =EK，CE=EF，∠BEF=∠ECK，

∴△BEF≌△KEC，

∴∠EFB=∠ECK=22.5°．

【解析】（1）根據(jù)SAS證明即可；（2）只要證明△NBE∽△EDC，可得，可得，由此即可解決問題；（3）在CD上取一點(diǎn)K，使得DE=DK=，首先證明KC=EK，再證明△BEF≌△KEC即可解決問題,
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解相似三角形的判定與性質(zhì)(相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方)．