Question

在△ABC中，AC＞BC，D為AB的中點，E為線段AC上的一點．
（1）如圖1，若AE=

1

4

AC，∠C=90°，BC=2，AC=4，求DE的長；
（2）如圖2，若AE=BC且F為EC中點，求證：∠AFD=

1

2

∠C；
（3）若2∠AED-∠C=180°，試探究AE、BC、AC的數(shù)量關系，并證明．

Answer 1

（1）證明：過點D作DG⊥AC交AC于G，（如圖1）
∵D為AB的中點，
∴E為AC的中點，
∴DG為△ACB的中位線，
∴DG=

1

2

BC=1，
∵AE=

1

4

AC，AC=4，
∴AE=1，
在Rt△DGE中，DE=

12+12

=

2

；

（2）證明：連結BE，取BE中點M，再連結MF、MD．（如圖2）
∵F為EC中點，D為AB中點，
∴MF∥BC且MF=

1

2

BC，MD∥AB且MD=

1

2

AB，
∴MF=MD，
∴∠MED=∠MDE，
又∵MD∥AB，
∴∠AFD=∠MDE，
∵∠MED=∠MDE，
∴∠AFD=

1

2

∠AFM，
∵MF∥AC，
∴∠AFM=∠ACB，
∴∠AFD=

1

2

∠ACB，
即：∠AFD=

1

2

∠C；

（3）答：AC=2AE+BC，（如圖3）
證明：在EC上截取EM=AE，連接BM，作CH⊥BM，
∵2∠AED-∠C=180°，
∴∠AED=90°+∠MCH，
∴∠AED=90°+

1

2

∠C，
∴∠C=2∠MCH，易證△CHM≌△CHB，
∴BC=MC，
∴AC=2AE+BC．