Question

課題：兩個重疊的正多邊形，其中的一個繞某一個頂點旋轉(zhuǎn)所形成的有關(guān)問題.

  實驗與論證

   設(shè)旋轉(zhuǎn)角，,,,所表示的角如圖所示.

（1）用含的式子表示角的度數(shù)：＝       , ＝        , ＝          ；

（2）圖1—圖4中，連接時，在不添加其他輔助線的情況下，是否存在與直線垂直且被它平分的線段？若存在，請選擇其中一個圖給出證明；若不存在，請說明理由；

歸納與猜想

     設(shè)正邊形與正邊形重合（其中與重合），現(xiàn)將正邊形繞頂點逆時針旋轉(zhuǎn).

（3）設(shè)與上述“,,…”的意義一樣，請直接寫出的度數(shù)；

（4）試猜想在正邊形的情況下，是否存在與直線垂直且被它平分的線段？若存在，請將這條線段用相應(yīng)的頂點字母表示出來（不要求證明）；若不存在，請說明理由.

Answer 1

.解：（1），  ，   .

          說明：每寫對一個給1分.

       （2）存在.下面就所選圖形的不同分別給出證明：

            選圖1.圖1中有直線垂直平分，證明如下：

圖1

            方法一：

            證明：∵與是全等的等邊三角形，

                  ∴，

                  ∴.

                 又∵.

                   ∴   .

                   ∴.∴點H在線段的垂直平分線上.

又∵，∴點在線段的垂直平分線上

∴直線垂直平分

方法二：

證明：∵與是全等的等邊三角形，

                   ∴，

                    ∴.

                    又.

  ∴

 ∴.

在與中

∵，，

∴≌.∴

∴是等腰三角形的頂角平分線.

∴直線垂直平分. 

選圖2.圖2中有直線垂直平分，證明如下：

圖2

      ∵

∴

又∵，

         ∴   .

  ∴.∴點H在線段的垂直平分線上.

又∵，∴點在線段的垂直平分線上

∴直線垂直平分.

 

說明：（ⅰ）在圖2中選用方法二證明的，參照上面的方法二給分；

（ⅱ）選擇圖3或圖4給予證明的，參照上述證明過程評分.

        (3)當為奇數(shù)時，，

       當為偶數(shù)時，  

        （4）存在.當為奇數(shù)時，直線垂直平分，

          當為偶數(shù)時，直線垂直平分.