Question

【題目】如圖1，一副直角三角板滿足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°

操作：將三角板DEF的直角頂點E放置于三角板ABC的斜邊AC上，再將三角板DEF繞點E旋轉(zhuǎn)，并使邊DE與邊AB交于點P，邊EF與邊BC于點Q．

探究一：在旋轉(zhuǎn)過程中，

（1）如圖2，當時，EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給出證明；

（2）如圖3，當時，EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；

（3）根據(jù)你對（1）、（2）的探究結(jié)果，試寫出當時，EP與EQ滿足的數(shù)量關(guān)系式為　 　，其中m的取值范圍是　 　．（直接寫出結(jié)論，不必證明）

探究二：若且AC=30cm，連接PQ，設△EPQ的面積為S（cm2），在旋轉(zhuǎn)過程中：

（1）S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，說明理由．

（2）隨著S取不同的值，對應△EPQ的個數(shù)有哪些變化，求出相應S的值或取值范圍．

Answer 1

【答案】探究一：（1）EP=EQ；證明見解析；（2）1:2，證明見解析；（3）EP：EQ=1：m，∴0＜m≤2+；探究二：（1）當x=10時，面積最小，是50cm2；當x=10時，面積最大，是75cm2．（2）50＜S≤62.5時，這樣的三角形有2個；當S=50或62.5＜S≤75時，這樣的三角形有一個．

【解析】探究一：（1）連接BE，根據(jù)已知條件得到E是AC的中點，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可以證明BE=CE，∠PBE=∠C，根據(jù)等角的余角相等可以證明∠BEP=∠CEQ，即可得到全等三角形，從而證明結(jié)論；

（2）作EM⊥AB，EN⊥BC于M、N，根據(jù)兩個角對應相等證明△MEP∽△NWQ，發(fā)現(xiàn)EP：EQ=EM：EN，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到EM：EN=AE：CE；

（3）根據(jù)（2）中求解的過程，可以直接寫出結(jié)果；要求m的取值范圍，根據(jù)交點的位置的限制進行分析；

探究二：（1）設EQ=x，結(jié)合上述結(jié)論，用x表示出三角形的面積，根據(jù)x的最值求得面積的最值；

（2）首先求得EQ和EB重合時的三角形的面積的值，再進一步分情況討論．

探究一：（1）連接BE，

根據(jù)E是AC的中點和等腰直角三角形的性質(zhì)，得

BE=CE，∠PBE=∠C，

又∠BEP=∠CEQ，

則△BEP≌△CEQ，得EP=EQ；

（2）作EM⊥AB，EN⊥BC于M，N，

∴∠EMP=∠ENC，

∵∠MEP+∠PEN=∠PEN+∠NEF=90°，

∴∠MEP=∠NEF，

∴△MEP∽△NEQ，

∴EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2；

（3）過E點作EM⊥AB于點M，作EN⊥BC于點N，

∵在四邊形PEQB中，∠B=∠PEQ=90°，

∴∠EPB+∠EQB=180°（四邊形的內(nèi)角和是360°），

又∵∠EPB+∠MPE=180°（平角是180°），

∴∠MPE=∠EQN（等量代換），

∴Rt△MEP∽Rt△NEQ，

∴，

在Rt△AME∽Rt△ENC，

∴，

∴，

EP與EQ滿足的數(shù)量關(guān)系式為EP：EQ=1：m，

∴0＜m≤2+；（當m＞2+時，EF與BC不會相交）．

探究二：若AC=30cm，

（1）設EQ=x，則S=x2，

所以當x=10時，面積最小，是50cm2；

當x=10時，面積最大，是75cm2；

（2）當x=EB=5時，S=62.5cm2，

故當50＜S≤62.5時，這樣的三角形有2個；

當S=50或62.5＜S≤75時，這樣的三角形有一個．