Question

已知：關(guān)于x的方程mx2+(3m+1)x+3=0．

（1）求證：不論m為任何實數(shù)，此方程總有實數(shù)根；

（2）如果該方程有兩個不同的整數(shù)根，且m為正整數(shù)，求m的值；

（3）在（2）的條件下，令y=mx2+(3m+1)x+3，如果當x1=a與x2=a+n（n≠0）時有y1=y2，求代數(shù)式4a2+12an+5n2+16n+8的值．

 

Answer 1

（1）證明見解析；

（2）m=1；

（3）4a2+12an+5n2+16n+8=24．

【解析】

試題分析：（1）分類討論：當m=0時，原方程化為x+3=0，解得x=﹣3；當m≠0時，計算判別式得△=（3m﹣1）2，由于（3m﹣1）2≥0，則不論m為任何實數(shù)時總有兩個實數(shù)根，所以不論m為任何實數(shù)時，方程 mx2+（3m+1）x+3=0總有實數(shù)根；

（2）先解方程mx2+（3m+1）x+3=0得到x1=﹣3，x2=，由于方程mx2+（3m+1）x+3=0有兩個不同的整數(shù)根，且m為正整數(shù)，易得m=1；

（3）當m=1時得到y(tǒng)=x2+4x+3，當x1=a時，y1=a2+4a+3，當x2=a+n時，y2=（a+n）2+4（a+n）+3，則a2+4a+3=（a+n）2+4（a+n）+3，變形得 n（2a+n+4）=0，由于n≠0，所以2a=﹣n﹣4，然后變形4a2+12an+5n2+16n+8得到（2a）2+2a•6n+5n2+16n+8，再利用整體代入的方法計算．

試題解析：（1）當m=0時，原方程化為x+3=0，此時方程有實數(shù)根 x=﹣3；

當m≠0時，

∵△=（3m+1）2﹣12m=9m2﹣6m+1=（3m﹣1）2．

∵（3m﹣1）2≥0，

∴不論m為任何實數(shù)時總有兩個實數(shù)根，

綜上所述，不論m為任何實數(shù)時，方程 mx2+（3m+1）x+3=0總有實數(shù)根；

（2）當m≠0時，解方程mx2+（3m+1）x+3=0得 x1=﹣3，x2=，

∵方程mx2+（3m+1）x+3=0有兩個不同的整數(shù)根，且m為正整數(shù)，

∴m=1；

（3）∵m=1，y=mx2+（3m+1）x+3，

∴y=x2+4x+3，

又∵當x1=a與x2=a+n（n≠0）時有y1=y2，

∴當x1=a時，y1=a2+4a+3，

當x2=a+n時，y2=（a+n）2+4（a+n）+3，

∴a2+4a+3=（a+n）2+4（a+n）+3，

化簡得 2an+n2+4n=0，

即 n（2a+n+4）=0，

又∵n≠0，

∴2a=﹣n﹣4，

∴4a2+12an+5n2+16n+8

=（2a）2+2a•6n+5n2+16n+8

=（n+4）2+6n（﹣n﹣4）+5n2+16n+8

=24．

考點：1、根的判別式；2、根與系數(shù)的關(guān)系；3、整體思想