Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB：BC＝3：4，點E是對角線BD上一動點（不與點B，D重合），將矩形沿過點E的直線MN折疊，使得點A，B的對應點G，F分別在直線AD與BC上，當△DEF為直角三角形時，CN：BN的值為_____．

Answer 1

【答案】或．

【解析】

分兩種情況進行討論：當∠DFE＝90°時，△DEF為直角三角形；當∠EDF＝90°時，△DEF為直角三角形，分別判定△DCF∽△BCD，得到＝，進而得出CF，根據(jù)線段的和差關(guān)系可得CN和BN的長，于是得到結(jié)論．

解：∵AB：BC＝3：4，

設(shè)AB＝3x，BC＝4x，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴CD＝AB＝3x，AD＝BC＝4x，

分兩種情況：

①如圖所示，當∠DFE＝90°時，△DEF為直角三角形，

∵∠CDF+∠CFD＝∠EFN+∠CFD＝90°，

∴∠CDF＝∠EFN，

由折疊可得，EF＝EB，BN＝FN，

∴∠EFN＝∠EBN，

∴∠CDF＝∠CBD，

又∵∠DCF＝∠BCD＝90°，

∴△DCF∽△BCD，

∴＝，即＝，

∴CF＝，

∴FN＝NB＝＝，

∴CN＝CF+NF＝+＝，

∴CN：BN＝：＝25：7．

②如圖所示，當∠EDF＝90°時，△DEF為直角三角形，

∵∠CDF+∠CDB＝∠CDF+∠CBD＝90°，

∴∠CDF＝∠CBD，

又∵∠DCF＝∠BCD＝90°，

∴△DCF∽△BCD，

∴＝，即＝，

∴CF＝，

∴NF＝BN＝＝，

∴CN＝NF﹣CF＝﹣＝，

∴CN：BN＝7：25，

綜上所述，CN：BN的值為或．

故答案為：或．