Question

【題目】如圖，點(diǎn)O是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，⊙O與半徑AC相切于點(diǎn)E，與邊BC、AB分別相交于點(diǎn)D、F，且DE=EF.

⑴求證：∠C=90o；

⑵當(dāng)BC=2，sinA=時(shí)，求AF的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）如圖，連接OE，BE，通過(guò)對(duì)等弦、對(duì)等弧、對(duì)等圓周角以及等量轉(zhuǎn)化找到∠OEB與∠DBE相等，再運(yùn)用切線和平行線的定理即可解答

（2）先求出AB的長(zhǎng)度，再通過(guò)解Rt△AOE求出半徑長(zhǎng)度，最后求出AF的長(zhǎng)度.

解：（1）連接OE，BE，

∵DE＝EF，∴ ;

∴∠OBE＝∠DBE.

∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE.

∴∠OEB＝∠DBE.

∴OE∥BC.

∵⊙O與邊AC相切于點(diǎn)E，∴OE⊥AC.

∴∠AEO＝90°.

∴∠C＝∠AEO＝90°

（2）在△ABC，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝，∴AB＝5.

設(shè)⊙O的半徑為r，則AO＝5﹣r，

在Rt△AOE中，sinA＝＝，∴r＝.

∴AF＝5﹣2×＝.