Question

（2004•宣武區(qū)二模）如圖所示，矩形ABCD，折疊矩形的一邊AD，使點D落在BC邊的點F處，已知折痕AE=5cm，且=．
（1）求證：△AFB∽△FEC；
（2）求矩形的周長．

Answer 1

【答案】分析：（1）矩形的特點是四個角均為直角，折疊的部分所包含的角也是直角，利用在直角三角形中兩銳角互余可得∠BAF=∠CFE，進而可證明△ABF∽△FCE；
（2）利用相似三角形對應邊成比例，再利用勾股定理即可得解．
解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠D=∠AFE=90°．
∵∠CFE+∠BFA=90°，∠BFA+∠BAF=90°，
∴∠BAF=∠CFE．
∴△ABF∽△FCE．

解：（2）∵=，設EC=3t，F(xiàn)C=4t，則EF=DE=5t，
∴AB=CD=8t．
∴，
∴BF=6t．
∴AF=10t．
在Rt△AEF中，由勾股定理（10t）²+（5t）²=（5）²
∴t=1．
∴矩形周長=2（AB+BF+FC）=2（8t+6t+4t）=36（cm）．
點評：本題主要考查了矩形的特點、圖形的折疊、相似三角形的判定定理及性質等內容．