Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點A，B，C，已知點A的坐標為（﹣3，0），點B坐標為（1，0），點C在y軸的正半軸，且∠CAB=30°．

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）若直線l：y= x+m從點C開始沿y軸向下平移，分別交x軸、y軸于點D、E．
①當m＞0時，在線段AC上否存在點P，使得點P，D，E構成等腰直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
②以動直線l為對稱軸，線段AC關于直線l的對稱線段A′C′與二次函數(shù)圖象有交點，請直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，連結AC，在Rt△AOC中，∠CAB=30°，

∵A（﹣3，0），即OA=3，

∴OC= ，即C（0， ），

設拋物線解析式為 ，

將A（﹣3，0），B（1，0）代入得 ．

解得 ．

∴

（2）

解：由題意可知，OE=m，OD= ，∠DEO=30°，

（i）如圖2，當PD⊥DE，DP=DE，作PQ⊥x軸

∴∠PQD=∠EOD=90°，

∠PDQ+∠EDO=90°，∠EDO+∠DEO=90°，

∴∠DEO=∠PDQ=30°，

在△DPQ與△EDO中，

，

∴△DPQ≌△EDO（AAS），

∴DQ=OE=m，

∵∠PAQ=∠PDQ=30°，

∴PA=PD，

∴AQ=DQ=m，

∴OA=2m+ =3，

∴ ；

（ii）如圖3，當PE⊥DE，PE=DE，作PQ⊥y軸，

同理可得CQ=EQ=OD= ，

∴OC=m+ = ，

∴ ；

（iii）如圖4，當DP⊥PE，DP=PE，作DM⊥AC，EN⊥AC，

同理可得AP=AD= ，PN=DM= ，CN=

∴AC= + + = ，

∴ ；

②當x=0，y= 時， =0+m，解得m= ；

當x=0，y=﹣ 時，﹣ =0+m，解得m=﹣ ．

故m的取值范圍為：

【解析】（1）如圖1，連結AC，在Rt△AOC中，∠CAB=30°，根據(jù)三角函數(shù)可得C（0， ），根據(jù)待定系數(shù)法可求拋物線解析式；（2）①由題意可知，OE=m，OD= ，∠DEO=30°，根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質分三種情況：（i）如圖2，當PD⊥DE，DP=DE，作PQ⊥x軸；（ii）如圖3，當PE⊥DE，PE=DE，作PQ⊥y軸；（iii）如圖4，當DP⊥DE，DP=PE，作DM⊥AC，EN⊥AC；進行討論可求點P的坐標；②動直線l與直線AC的交點為C和動直線l與y軸的交點在x軸下面，并且與前面的直線平行，可求m的取值范圍．
【考點精析】利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數(shù)圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．