Question

如圖，面積為8的矩形ABOC的邊OB、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，點A在雙曲線的圖象上，且AC=2．
（1）求k值；
（2）將矩形ABOC以B旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到矩形FBDE，雙曲線交DE于M點，交EF于N點，求△MEN的面積．
（3）在雙曲線上是否存在一點P，使得直線PN與直線BC平行？若存在，請求出P點坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵矩形ABOC的面積為8，且AC=2，
∴AB=4，
∵點A在第一象限
∴A（2，4），
∵頂點A在雙曲線的圖象上，
將A點代入雙曲線函數(shù)中，得：即k=8；

（2）∵矩形ABOC以B為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到矩形BDEF，
∴點N、E縱坐標(biāo)為2，點M、E橫坐標(biāo)為6，
∴將y=2代入中，得x=4，
將x=6代入中，則，
∴M（6，），E（6，2），N（4，2），
∴EM=，EN=2，
∴．

（3）設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=mx+b（m≠0），
∵B（2，0）、C（0，4）
∴得
∴直線BC的表達(dá)式為y=-2x+4，
若直線PN∥BC，則可設(shè)直線PN為y=-2x+a
把N（4，2）代入，得a=10
∴直線PN為y=-2x+10，
由
得
∴P點的坐標(biāo)為（1，8）．
分析：（1）根據(jù)面積為8的矩形ABOC，AC=2，可以求出AB，即可得出A點的坐標(biāo)，即可求出解析式；
（2）由矩形ABOC以B為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到矩形BDEF，得出點N、E縱坐標(biāo)為2，點M、E橫坐標(biāo)為6，從而求出
E，N的坐標(biāo)，即可得出△MEN的面積；
（3）首先求出直線BC解析式，再根據(jù)直線PN與直線BC平行，得出一次項系數(shù)相等，再將N點坐標(biāo)代入即可求出．
點評：此題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)兩直線平行得出兩一次函數(shù)的一次項系數(shù)相等是解決問題的關(guān)鍵．