Question

填空：

1

2

=1-

1

2

，

1

6

=

1

2

-

1

3

，

1

12

=

1

3

-

1

4

，

1

20

=

1

4

-

1

5

，…．
（1）試求 

1

30

=

1

5

-

1

6

，

1

42

=

1

6

-

1

7

．
（2）請猜想能表示上述規(guī)律的等式，并用含字母n（n 整數(shù)）的式子表示出來

1

n

-

1

n+1

（3）請你直接利用（2）所得的結(jié)論計算下列式子

1

x(x+1)

+

1

(x+1)(x+2)

+

1

(x+2)(x+3)

+…+

1

(x+2008)(x+2009)

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)信息，把30寫成5×6，42寫成6×7，然后拆分開即可；
（2）根據(jù)提供的信息，兩個連續(xù)自然數(shù)的積的倒數(shù)等于這兩個數(shù)的倒數(shù)的差，寫出即可；
（3）把各分式分別拆分成兩個分式的差，然后進(jìn)行計算加減運算即可．

解答：解：（1）

1

30

=

1

5

-

1

6

，

1

42

=

1

6

-

1

7

；

（2）

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；

（3）

1

x(x+1)

+

1

(x+1)(x+2)

+

1

(x+2)(x+3)

+…+

1

(x+2008)(x+2009)

，
=

1

x

-

1

x+1

+

1

x+1

-

1

x+2

+

1

x+2

-

1

x+3

+…+

1

x+2008

-

1

x+2009

，
=

1

x

-

1

x+2009

，
=

x+2009-x

x(x+2009)

，
=

2009

x(x+2009)

．
故答案為：

1

5

-

1

6

，

1

6

-

1

7

，

1

n

-

1

n+1

．

點評：本題是對數(shù)字變化規(guī)律的考查，讀懂題目信息，觀察出“兩個連續(xù)自然數(shù)的積的倒數(shù)等于這兩個數(shù)的倒數(shù)的差”是解題的關(guān)鍵．