Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-

4

3

x+4分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)．
（1）求兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合），設(shè)⊙P始終和x軸相切，和直線AB相交于C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)C的橫坐標(biāo)小于點(diǎn)D的橫坐標(biāo)）設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，試用含有m的代數(shù)式表示點(diǎn)C的橫坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)C在線段AB上，求m為何值時(shí)，△BOC為等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）因?yàn)橹本�y=-

4

3

x+4分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，所以分別令x=0、y=0，即可求出A、B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為n．由（1）知AB=

OA2+OB2

=5，所以sin∠OBA=

3

5

，要求點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，可過(guò)C作CE⊥x軸于E，過(guò)P作PG⊥x軸于G，PF⊥CE于F，則∠FCP=∠OBA，PF=m-n．
①若m＜3時(shí)，因?yàn)镻點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，P在直線y=-

4

3

x+4上，所以PC=PG=-

4

3

m+4，利用三角函數(shù)可得PF=PC•sin∠FCP=PC•sin∠OBA，即可得到關(guān)于m、m的關(guān)系式，整理即可；
②當(dāng)m＞3時(shí)，P在x軸的下方，所以PC=PG=

4

3

m-4，PF=PC•sin∠FCP=PC•sin∠OBA，整理即可得到另一個(gè)m、n的關(guān)系式；
（3）當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，由（2）知，C點(diǎn)的橫坐標(biāo)n=

9

5

m-

12

5

，因?yàn)椤鰾OC為等腰三角形，所以需要分情況討論：
①當(dāng)CB=CO時(shí)，因?yàn)椤鱋BA是直角三角形，∠BOA=90°，所以此時(shí)C為AB的中點(diǎn)，C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

3

2

，即n=

3

2

，即

9

5

m-

12

5

=

3

2

，解之即可；
②當(dāng)CB=OB=4時(shí)，因?yàn)锳B=5，可得AC=AB-CB=1，利用三角函數(shù)可得AE=AC•cos∠OAB=

3

5

，又因OE+AE=OA，就可得到關(guān)于m的方程，解之即可；
③當(dāng)OC=OB時(shí)，因?yàn)镺B＞OA，所以C在線段BA的延長(zhǎng)線上，即在線段AB上不存在點(diǎn)C，使OC=OB．

解答：解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=4；當(dāng)y=0時(shí)，-

4

3

x+4=0，x=3．
∴A（3，0），B（0，4）．（2分）

（2）設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為n．由（1）知AB=

OA2+OB2

=5，
∴sin∠OBA=

3

5

．
過(guò)C作CE⊥x軸于E，過(guò)P作PG⊥x軸于G，PF⊥CE于F，
則∠FCP=∠OBA，PF=m-n．
①當(dāng)m＜3時(shí)，∵PC=PG=-

4

3

m+4，
∴PF=PC•sin∠FCP=PC•sin∠OBA，
∴m-n=（-

4

3

m+4）×

3

5

．
解得n=

9

5

m-

12

5

．（5分）
②當(dāng)m＞3時(shí)，PC=PG=

4

3

m-4，PF=PC•sin∠FCP=PC•sin∠OBA，
∴m-n=（

4

3

m-4）×

3

5

．
解得n=

1

5

m+

12

5

．（7分）

（3）當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，由（2）知，C點(diǎn)的橫坐標(biāo)n=

9

5

m-

12

5

，
以下兩種情況△BOC為等腰三角形．
①當(dāng)CB=CO時(shí)，
∵△OBA是直角三角形，∠BOA=90度．
∴此時(shí)C為AB的中點(diǎn)，
∴C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

3

2

．
∴

9

5

m-

12

5

=

3

2

，解得m=

13

6

．（9分）
②當(dāng)CB=OB時(shí)，
∵AB=5，
∴AC=AB-CB=1，
∴AE=AC•cos∠OAB=

3

5

．
∵OE+AE=OA，
∴

9

5

m-

12

5

+

3

5

=3，解得m=

8

3

．
∵OB＞OA，
∴在線段AB上不存在點(diǎn)C，使OC=OB．
所以，當(dāng)m=

13

6

或m=

8

3

時(shí)，△BOC為等腰三角形．（11分）

點(diǎn)評(píng)：本題的解決需要用到分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．