Question

已知正方形ABCD，AC、BD交于O點，將一個三角板的直角頂點與O重合，它的兩條直角邊分別與AB、BC相交于點E、F．
（1）當三角板繞點O旋轉到OE與AB垂直時（如圖1），求證：BE+BF=

2

OB．
（2）當三角板在（1）的條件下繞點O逆時針旋轉a°（0°＜a＜45°）時，如圖2，上述結論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據正方形性質得出OB=OC，∠EBO=∠OCF=45°，OB⊥OC，根據勾股定理求出BC=

2

OB，證△BOE≌△COF，推出BE=CF即可；
（2）根據正方形性質得出OB=OC，∠EBO=∠OCF=45°，OB⊥OC，根據勾股定理求出BC=

2

OB，證△BOE≌△COF，推出BE=CF即可．

解答：（1）證明：∵ABCD是正方形，O為對角線AC、BD的交點，
∴OB=OC，∠EBO=∠OCF=45°，OB⊥OC，BC=

OB2+OC2

=

2

OB．
又∵OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠OEB=∠OFC=90°，∠EOF=∠BOC=90°，
∴∠EOF-∠BOF=∠BOC-∠BOF，
∴∠EOB=∠FOC，
在△EOB和△FOC中，

∠EOB=∠FOC OB=OC ∠EBO=∠FCO

，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴BE=CF，
∴BE+BF=CF+BF=BC=

2

OB．

（2）BE+BF=

2

OB仍然成立．
證明：∵∠EOB+∠BOF=90°，∠COF+∠BOF=90°
∴∠EOB=∠COF，
又∵OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，
∴在△BOE和△COF中

∠EOB=∠FOC OB=OC ∠EBO=∠FCO

∴△BOE≌△COF（ASA），
∴BE=CF，
∴BE+BF=CF+BF=BC=

2

OB．

點評：本題考查了正方形性質，全等三角形性質和判定，勾股定理的應用，關鍵是推出△BOE≌△COF，證明過程類似．