Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，正方形OABC的邊長為1，點A、C分別在y軸的負半軸和x軸的正半軸上，拋物線y=ax²+2ax+c經(jīng)過點A、C，且與x軸的另一個交點為D．
（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式及D點坐標；
（2）點P在拋物線上，點Q在y軸上，要使以點P、Q、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件的點P的坐標；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點R，使|AR-DR|的值最大？若存在，直接寫出點R的坐標；若不存在，請簡要說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由正方形的邊長為1可知，A（0，-1），C（1，0），將A、C兩點坐標代入y=ax²+2ax+c中，可求拋物線解析式，令y=0，可求D點坐標；
（2）由C、D兩點坐標可求線段CD長，點Q在y軸上，當以點P、Q、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形時，PQ=CD，由此可設(shè)P點橫坐標，代入拋物線解析式可求P點縱坐標；
（3）存在．連接AD與拋物線對稱軸交于R點，R點即為所求，根據(jù)A、D兩點坐標求直線AD解析式，再把拋物線的對稱軸代入，可求R點的坐標．
解答：解：（1）依題意，得A（0，-1），C（1，0），
代入y=ax²+2ax+c中，得，解得，
所以，拋物線解析式為y=x²+x-1，令y=0，得x₁=1，x₂=-3，
所以，D（-3，0）；

（2）由C（1，0），D（-3，0）得CD=4，
由于點Q在y軸上，當以點P、Q、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形時（如圖1），
若P點橫坐標為-4，代入拋物線解析式，得y=×（-4）²+×（-4）-1=，
若P點橫坐標為4，代入拋物線解析式，得y=×4²+×4-1==7，
所以，所有滿足條件的點P的坐標（-4，），（4，7）；

（3）存在．
連接AD與拋物線對稱軸交于R點，此時，|AR-DR|的值最大（如圖2），
設(shè)直線AD解析式為y=kx+b，將A（0，-1），D（-3，0）代入，得：
，解得，
所以，直線AD解析式為y=-x-1，
當x=-1時，y=-，
即R點坐標為（-1，-）．
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運用．關(guān)鍵是根據(jù)題意求拋物線解析式，根據(jù)拋物線解析式求D點坐標，再表示線段CD的長，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求P點坐標，再根據(jù)圖形的性質(zhì)求使
|AR-DR|的值最大時，R點坐標．