Question

已知拋物線y=ax²+3ax+b交x軸分別于A、B（1，0），交y軸于C（0，2）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）如圖（1），P為拋物線第三象限的點(diǎn)，若S_△PAC=2S_△PBC，求P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）如圖（2），D為拋物線的頂點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使△ADQ為銳角三角形？若存在，求出Q點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）將B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式，可求a、b的值，確定拋物線解析式；
（2）設(shè)PC交線段AB于M點(diǎn)，只需要AM=2MB即可，根據(jù)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)求M點(diǎn)坐標(biāo)，再求直線CM，與拋物線解析式聯(lián)立，可求P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）根據(jù)∠ADQ=90°，∠DAQ=90°分別求Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)，得出△ADQ為銳角三角形時(shí)，Q點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍．
解答：解：（1）把B（1，0），C（0，2）代入y=ax²+3ax+b中，得
，
解得，
∴；

（2）設(shè)PC交x軸于M，由（1）可知，A（-4，0），
∴AB=5，
若S_△PAC=2S_△PBC，
則AM=2MB=AB=，M點(diǎn)橫坐標(biāo)為-（4-AM）=-，
∴直線CM：y=3x+2，聯(lián)立
得P（-9，-25）；

（3）連接CD，
∵A（-4，0），D（-，），
∴直線AD：y=x+5，
過A作AD的垂線，交拋物線于N點(diǎn)，
則直線AN：y=-x-，聯(lián)立，
解得N（，-），
同理，過D作AD的垂線，得N′（，），
∴＜x_Q＜．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)題意求拋物線解析式，根據(jù)直線解析式和拋物線解析式求交點(diǎn)坐標(biāo)．