Question

（2009•保定一模）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E是邊CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以CE為一條直角邊作等腰直角三角形CEF，連接BF、FD、BD，則BD與CF的位置關(guān)系式

BD∥CF

．
（1）如圖1，當(dāng)CE=4（即點(diǎn)E與點(diǎn)D重合）時(shí)，△BDF的面積為

8

；
（2）如圖2，當(dāng)CE=2（即點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)）時(shí)，△BDF的面積為

8

；
（3）如圖3，當(dāng)CE=3時(shí)，△BDF的面積為

8

．

（4）如圖4，根據(jù)上述計(jì)算結(jié)果，當(dāng)E是CD邊上任意一點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)?zhí)岢瞿銓?duì)△BDF面積與正方形ABCD的面積之間關(guān)系的猜想；并證明你的猜想．
（5）如圖5，若E是CD延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)你判斷（4）中的結(jié)論是否仍然成立．

Answer 1

分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)求出BC=EF，BC∥EF，推出平行四邊形BDFC即可；
（1）根據(jù)三角形的面積公式求出即可；
（2）根據(jù)△BDF的面積=S_△BCD+S_△CDF-S_△BCF，代入求出即可；
（3）根據(jù)△BDF的面積=S_△BCD+S_△CDF-S_△BCF，代入求出即可；
（4）根據(jù)△BDF的面積=S_△BCD+S_△CDF-S_△BCF和EF=CE，代入求出即可；
（5）根據(jù)△BDF的面積=S_△BCD+S_△CDF-S_△BCF、EF=CE和正方形的面積，代入求出即可．

解答：解：∵正方形ABCD和等腰直角三角形CDF，
∴BC∥AD，BC=CD=EF，
∴四邊形BDFC是平行四邊形，
∴BD∥CF，
故答案為：BD∥CF．

（1）解：AD=DF=4，
∴S_△BDF=

1

2

DF×AB=

1

2

×4×4=8，
故答案為：8．

（2）解：△BDF的面積是S_△BCD+S_△CDF-S_△BCF，…
=

1

2

BC×CD+

1

2

CD×EF-

1

2

BC×CE，
=

1

2

×4×4+

1

2

×4×2-

1

2

×4×2，
=8，
故答案為：8．

（3）解：△BDF的面積是：S_△BCD+S_△CDF-S_△BCF，
=

1

2

BC×CD+

1

2

CD×EF-

1

2

BC×CE，
=

1

2

×4×4+

1

2

×4×3-

1

2

×4×3，
=8，
故答案為：8．

（4）解：S_△BDF=

1

2

S_{正方形ABCD}，
證明：∵S_{正方形ABCD}=AB×BC=4×4=16，
S_△BDF=S_△BCD+S_△CDF-S_△BCF，
=

1

2

BC×CD+

1

2

CD×EF-

1

2

BC×CE，
=

1

2

×4×4+

1

2

×4×EF-

1

2

×4×EF，
=8，
∴S_△BDF=

1

2

S_{正方形ABCD．}

（5）仍然成立，
理由是：∵EF=CE，
∴S_{正方形ABCD}=AB×BC，
S_△BDF=S_△BCD+S_△CDF-S_△BCF，
=

1

2

BC×CD+

1

2

CD×EF-

1

2

BC×CE，
=

1

2

BC×CD，
∴S_△BDF=

1

2

S_{正方形ABCD}．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了等腰直角三角形，正方形的性質(zhì)，三角形的面積，平行四邊形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，題型較好，用的數(shù)學(xué)思想是類比思想，考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力．