Question

直角坐標系中，已知A（1，0），以點A為圓心畫圓，點M（4，4）在⊙A上，直線y=-x+b過點M，分別交x軸、y軸于B、C兩點．
（1）①填空：⊙A的半徑為________，b=________．（不需寫解答過程）
②判斷直線BC與⊙A的位置關系，并說明理由．
（2）若EF切⊙A于點F分別交AB和BC于G、E，且FE⊥BC，求的值．
（3）若點P在⊙A上，點Q是y軸上一點且在點C下方，當△PQM為等腰直角三角形時，直接寫出點Q的坐標．

Answer 1

（1）①解：連接AM，過M作MQ⊥x軸于Q，
則AQ=4-1=3，MQ=4，
由勾股定理得：AM==5，
把M（4，4）代入y=-x+b得：4=-×4+b，
∴b=7，
故答案為：5，7．

②解：相切，
理由是：連接AF，
y=-x+7，
當x=0時，y=7，∴C（0，7），OC=7，
當y=0時，0=-x+7，
∴x=，
∴B（，0），OB=，
∴BQ=OB-OQ=-4=，AQ=4-1=3，MQ=4，
∴==，=，
∴=，
∵∠MQA=∠MQB，
∴△AMQ∽△MBQ，
∴∠MAQ=∠BMQ，
∵∠MAQ+∠AMQ=90°，
∴∠AMQ+∠BMQ=90°，
∴AM⊥BC，
∴直線BC與⊙A的位置關系是相切．
（2）解：連接AC，
在△COB中，由勾股定理得：BC==，
同理AC=5，
∵AM=5，由勾股定理得：CM=5，
設EG=a，
∵EF⊥BC，
∴∠FEB=∠COB=90°，
∵∠OBC=∠OBC，
∴△BEG∽△BOC，
∴=，
即=，
∴BE=a，
∴根據切線長定理得：EM=EF=BC-BE-CM=-a-5，
∵EF⊥CB，AF⊥EF，
∴AF∥BC，
∴△AFG∽△BEG，
∴=，
∴=，
∴FG=，
∵BE+EM+CM=BC，
∴a+a++5=，
a=，
EG=，F(xiàn)G=，
∴==3．
（3）解：①當∠PQM=90°時，MQ=PQ，由對稱性M，P關于X軸對稱，
所以Q，O重合，Q（0，0）；
②當∠PMQ=90°，MQ=MP，作MD⊥x，MH⊥y，
可得△MHQ≌△MDP，
即P是圓與x正半軸交點
從而Q（0，2）；
③當∠QPM=90°時，分兩種情況：
第一情況：P在y的左方，如圖，設P（m，n），Q（0，b）可得：
①4-m=n-b，②4-n=-m，③（1-m）²+n²=5²，
解方程組得，b=2，b=-8（b=2也符合條件，雖與②中b同，但直角不同），
第二情況：P在y的右方，同理得：
①m-4=n-b，②4-n=m，③（1-m）²+n²=5²，
解方程組得，b=3+（舍），b=3-．
綜合上述：Q的坐標是（0，0）或（0，2）或（0，-8）或（0，3-）．
分析：（1）①連接AM，過M作MQ⊥x軸于Q，求出AQ、QM，根據勾股定理求出AM即可；把M的坐標代入解析式，求出b即可；②求出B、C的坐標，證△AQM和△BQM相似，推出∠MAQ=∠BMQ，推出∠AMB=90°即可；
（2）設EG=a，根據勾股定理求出BC、AC、CM的值，根據△BEG和△BOC相似，求出BE的值，根據△BEG和△AFG相似，求出GF的值，根據BC=BE+EM+CM，代入求出a即可；
（3）有三種情況：①當∠PQM=90°時，MQ=PQ，根據軸對稱，得出Q與O重合，即可求出Q的坐標；②當∠PMQ=90°，MQ=MP，作MD⊥x，MH⊥y，證△MHQ≌△MDP，推出P是圓與x正半軸交點，即可求出答案；③當∠QPM=90°時，分兩種情況：第一情況：P在y的左方，設P（m，n），Q（0，b）得出方程①4-m=n-b，②4-n=-m，③（1-m）²+n²=5²，解方程組即可求出b；第二情況：P在y的右方，同理能求出b的值．
點評：本題綜合考查了勾股定理，等腰三角形性質，等腰直角三角形，切線的判定，相似三角形的性質和判定，軸對稱性質，切線長定理，直線與圓的位置關系等知識點，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算能力，本題難度偏大，對學生提出了較高的要求，用力方程思想和分類討論思想．