Question

如圖，拋物線與雙曲線相交于點A、B.已知點A的坐標為（1，4），點B在第三象限內，且△AOB的面積為3（O為坐標原點）.

（1）求實數的值；

（2）過拋物線上點A作直線AC∥Ox，交拋物線于另一點C，求所有滿足△EOC∽△AOB的點E的坐標.

Answer 1

解：（1）∵點A（1，4）在雙曲線上，

∴k=4.

 故雙曲線的函數表達式為.

設點B（t，），，AB所在直線的函數表達式為，則有

    解得

于是，直線AB與y軸的交點坐標為，

故，

整理得，

解得t=-2或(舍去)

∴點B的坐標為（-2，-2）

∵點A，B都在拋物線（a0）上，

∴解得

（2）如圖，∵AC∥x軸，

∴C（-4，4），∴CO＝. 又BO=，

∴.

設拋物線（a0）與x軸負半軸相交于點D，

 則點D的坐標為（-3，0）.

∵∠COD＝∠BOD＝45°，∴∠COB=90°（i）將△BOA繞點O順時針旋轉90°，得到△B’OA.這時，點B’(-2，2)是CO的中點，點A₁的坐標為（4，-1）.

延長OA₁到點E₁，使得OE₁=2OA₁，這時點E₁（8，-2）是符合條件的點.．．．．．9分

（ii）作△BOA關于x軸的對稱圖形△BOA₂，得到點A₂（1，-4）；延長O A₂到點E₂，使得OE₂＝2OA₂，這時點E₂（2，-8）是符合條件的點

∴點E的坐標是（8，-2），或（2，-8）.