Question

15．如圖，AB為⊙O直徑，C、D為⊙O上不同于A、B的兩點，∠ABD=2∠BAC．過點C作CE⊥DB，垂足為E，直線AB與CE相交于F點．
（1）求證：CF為⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為$\frac{5}{2}$cm，tan∠DAE=$\frac{4}{3}$，求BD和EF的長．

Answer 1

分析 （1）連結OC，如圖，由于∠A=∠OCA，則根據三角形外角性質得∠BOC=2∠A，而∠ABD=2∠BAC，所以∠ABD=∠BOC，根據平行線的判定得到OC∥BD，再CE⊥BD得到OC⊥CE，然后根據切線的判定定理得CF為⊙O的切線；
（2）連接AD、AE、過點O作OH⊥BD于點H，由此可知△DAE是直角三角形，可設DE=4x，AD=3x，利用四邊形OCEH是矩形即可表示BD的長度，利用勾股定理即可求出x的值．再證明∴△BOH∽△BFE即可求出BD和EF的值．

解答 （1）證明：連結OC，如圖，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，
∴∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A，
∵∠ABD=2∠BAC，
∴∠ABD=∠BOC，
∴OC∥BD，
∵CE⊥BD，
∴OC⊥CE，
∴CF為⊙O的切線；
（2）連接AD、AE、
過點O作OH⊥BD于點H，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠D=90°，
∴tan∠DAE=$\frac{DE}{AD}$=$\frac{4}{3}$
設DE=4x，AD=3x，
由（1）易證：四邊形OCEH是矩形，
∴OC=EH=$\frac{5}{2}$，
∴DH=DE-EH=4x-$\frac{5}{2}$，
由垂徑定理可知：BD=2DH=8x-5，
在Rt△ABD中，AB=5，
由勾股定理可知：5²=（3x）²+（8x-5）²
73x²-80x=0，
解得：x=0（舍去）或x=$\frac{80}{73}$，
∴BD=8x-5=$\frac{275}{73}$；
∴BH=DH=4x-$\frac{5}{2}$=$\frac{275}{146}$，
BE=EH-BH=5-4x=$\frac{45}{73}$，
易證：OH是△ABD的中位線，
∴OH=$\frac{3}{2}$x=$\frac{120}{73}$
∵EF∥OH，
∴△BOH∽△BFE
∴$\frac{OH}{EF}=\frac{BH}{BE}$
∴EF=$\frac{432}{803}$

點評 本題考查了切線的判定：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了相似三角形的判定與性質．