Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B是直角，AB＝14 cm，AD＝18 cm．BC＝21 cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AD向點(diǎn)D以1 cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿邊CB向點(diǎn)B以9cm/s的速度移動(dòng)，若有一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止．如果P、Q同時(shí)出發(fā)，能否有四邊形PQCD成等腰梯形？如果存在，求經(jīng)過(guò)幾秒后四邊形PQCD成等腰梯形；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(本題9分)

Answer 1

不存在

分析：先假設(shè)存在，畫(huà)出圖形，按這種情況進(jìn)行分析，先求出PD=18-t，CQ=9t，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC，CF=（CQ-DP）/2，CF的長(zhǎng)為3，從而求出t的值，再根據(jù)t的取值范圍，進(jìn)行判斷。
解答：

設(shè)PQCD是等腰梯形時(shí)，過(guò)了t秒，
此時(shí)在梯形PQCD中，PD∥CQ，PQ=CD；
分別過(guò)P、D點(diǎn)作BC的垂線，分別交BC于E，F(xiàn)，
∵AB=14cm，AD=18cm，BC=21cm，∠B=90°，
∴PE=DF=AB=14，
∴CF=BC-AD=21-18=3，
∵經(jīng)過(guò)t秒，AP=t，CQ=9t，
∴PD=18-t，QE=CQ-EF-CF=9t-（18-t）-3=10t-21；
根據(jù)勾股定理：
PQ²=PE²+QE²，
CD²=DF²+CF²，
∵PQ=CD，
∴PE²+QE²=DF²+CF²，
將數(shù)值代入得：14²+（10t-21）²=14²+3²，
求得t=2.4或1.8，
然而當(dāng)t=2.4時(shí)，Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)距離為9×2.4=21.6＞21，不滿足要求，故舍掉，
∴當(dāng)t=1.8時(shí)，PD=18-1.8=16.2，QC=1.8×9=16.2，PD=QC，
∴四邊形PQCD為平行四邊形；
故不存在等腰梯形。
點(diǎn)評(píng)：本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，是難點(diǎn)，也是中考的重點(diǎn)，需熟練掌握。