Question

已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，連接AC，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D。
（1）當(dāng)點(diǎn)E為DB上任意一點(diǎn)（點(diǎn)D、B除外）時(shí)，連接CE并延長交⊙O于點(diǎn)F，AF與CD的延長線交于點(diǎn)G（如圖①），求證：AC²=AG·AF；
（2）李明證明（1）的結(jié)論后，又作了以下探究：當(dāng)點(diǎn)E為AD上任意一點(diǎn)（點(diǎn)A、D除外）時(shí)，連接CE并延長交⊙O于點(diǎn)F，連接AF并延長與CD的延長線在圓外交于點(diǎn)G，CG與⊙O相交于點(diǎn)H（如圖②），連接FH后，他驚奇的發(fā)現(xiàn)∠GFH=∠AFC，根據(jù)這一條件，可證GF·GA=GH·GC，請你幫李明給出證明；
（3）當(dāng)點(diǎn)E為AB的延長線上或反向延長線上任意一點(diǎn)（點(diǎn)A、B除外）時(shí)，如圖③、④所示，還有許多結(jié)論成立，請你根據(jù)圖③或圖④再寫出兩個(gè)類似問題（1）、（2）的結(jié)論（兩角、兩弧、兩線段相等或不相等的關(guān)系除外）（不要求證明）。

圖1                             圖2                                圖3                             圖4

Answer 1

解：（1）延長CG交⊙O于H，
∵CD⊥AB，
∴AB平分CH，
∴弧CH=弧AH，
∴∠ACH=∠AFC，
又∠CAG=∠FAC，
△AGC∽△ACF，
∴，
即AC²=AG·AF；
（2）∵CH⊥AB，
∴弧AC=弧AH，
∴∠AFC=∠ACG，
又∠AFC=∠GFH，
∴∠ACG=∠GFH，
又∠G=∠C，
∴△GFH∽△GCA，
∴，
∴GF·GA=GC·CH；
（3）CD²=AD·DB，
AC²=AD·AB，
EF·EC=EA·EB，
AF·GA=AD·AB。