Question

【題目】如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為，為邊上一點(diǎn)，＝．

（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出AE的長(zhǎng)是________；

（2）如圖（1），若為邊上的點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，且＝．求證：；

（3）如圖（2），若為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線分別與，相交于點(diǎn)、，且＝．請(qǐng)畫(huà)出示意圖并求出長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）圖見(jiàn)解析，2或3

【解析】

（1）根據(jù)正方形性質(zhì)、勾股定理和含銳角的直角三角形性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)正方形性質(zhì)和題目條件可證明，進(jìn)而可得；

（3）分兩種情況畫(huà)出示意圖（2）和（3），在圖（2）中，根據(jù)正方形性質(zhì)可先證明：四邊形為平行四邊形，再利用勾股定理即可求得，在圖（3）中，先證明，再利用勾股定理和等腰三角形性質(zhì)即可求得．

解：（1）（1）四邊形為正方形，

，

（2）如圖，∵ 四邊形為正方形，

∴ ＝，＝＝，

在和中，

∴ ，

∴ ＝＝

∵ ＝

∴ ＝

∴ ＝

∴ ；

（3）當(dāng)如圖（2）時(shí)，過(guò)作，交于點(diǎn)，

∵ 四邊形為正方形，

∴ ＝，，

∴ 四邊形為平行四邊形，

∴ ＝

∵ ＝

∴ ＝

由（2）可得：，

∴ ，

∴ ＝

∵ 為的中點(diǎn)，

∴ ，

設(shè)＝，在中，＝，

∴ ＝＝，

根據(jù)勾股定理得：＝，即，

∵

∴ ＝，

∴ ＝＝；

當(dāng)如圖時(shí)，過(guò)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

同理可證：，

∴ ＝＝

∴ ＝＝

∴ ＝

在中，＝，

∴ ＝，

∴ ＝

∴ ，

根據(jù)勾股定理得：＝

綜上可知，的長(zhǎng)等于或．