Question

【題目】已知：如圖，一次函數(shù)y=－2x與二次函數(shù)y＝ax2＋2ax＋c的圖像交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè))，與其對稱軸交于點(diǎn)C．

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）設(shè)二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)為D，點(diǎn)C與點(diǎn)D 關(guān)于 x軸對稱，且△ACD的面積等于2.

① 求二次函數(shù)的解析式；

② 在該二次函數(shù)圖像的對稱軸上求一點(diǎn)P（寫出其坐標(biāo)），使△PBC與△ACD相似.

Answer 1

【答案】（1）C點(diǎn)的坐標(biāo)為（－1，2）；（2）①y＝2x2＋4x；②點(diǎn)P的坐標(biāo)為（－1， 10），（－1， ）.

【解析】試題分析：

（1）把y＝ax2＋2ax＋c配方可得拋物線的對稱軸為直線x=1，由此結(jié)合已知條件即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，2）；

（2）①由（1）中的結(jié)論結(jié)合題意可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，-2），由此可得CD=4，結(jié)合△ACD的面積為2可得點(diǎn)A到CD的距離為1，結(jié)合點(diǎn)A是拋物線與直線y=-2x的交點(diǎn)可得點(diǎn)A與原點(diǎn)重合，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，0），這樣設(shè)拋物線的解析式為y-a(x+1)2-2，再代入點(diǎn)A的坐標(biāo)即可求得a的值，從而可得拋物線的解析式；

②如下圖，由已得拋物線的解析式結(jié)合題意可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，再求結(jié)合點(diǎn)A、C、D的坐標(biāo)即可得到AC、BC、CD的長，然后分△P1BC∽△ACD和△P1BC∽△ACD兩種情況列出比例式，解出對應(yīng)的P1C和P2C即可得到對應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)了.

試題解析：

（1）∵y＝ax2＋2ax＋c＝a(x＋1)2＋c－a，

∴它的對稱軸為x＝－1．

又∵一次函數(shù)y=－2x與對稱軸交于點(diǎn)C，

∴y＝2，

∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（－1，2）．

（2）①∵點(diǎn)C與點(diǎn)D 關(guān)于x軸對稱，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（－1，－2）．

∴CD=4，

∵△ACD的面積等于2．

∴點(diǎn)A到CD的距離為1，點(diǎn)A是拋物線與直線y=-2x的交點(diǎn)，

∴可得A點(diǎn)與原點(diǎn)重合，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，0），

設(shè)二次函數(shù)為y＝a(x+1)2－2，∵其圖象過點(diǎn)A（0，0），

∴a(0+1)2-2=0，解得a＝2,

∴二次函數(shù)的解析式為：y＝2x2＋4x；

② 由 解得： , ，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（－3，6），

∵點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)分別為（0，0），（-3，6），（-1，2），D（-1，-2），

∴易得△ACD是等腰三角形，CD=4，AC=，BC=，

如下圖，①當(dāng)△P2BC∽△CAD時(shí)，

，即，解得P2C=8，

∴點(diǎn)P2到x軸的距離為10，即點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（-1，10）；

②當(dāng)△P1BC∽△ACD時(shí)，

，即，解得P1C=2.5，

∴點(diǎn)P1到x軸的距離為4.5，即點(diǎn)P1的坐標(biāo)為.

∴綜上所述可得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（－1， 10），（－1， ）.