Question

（2013•衡水模擬）如圖1，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是梯形，BC∥AO，頂點O在坐標原點，頂點A（4，0），頂點B（1，4），動點P從O點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿OA的方向向A運動，同時，動點Q從A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿A→B→C的方向向C運動．當其中一個點到達終點時，另一個也隨之停止．設運動時間為t秒．
（1）當t為何值時，PB與AQ互相平分？
（2）設△PAQ的面積為S，求S與t的函數關系式．當t為何值時，S有最大值？最大值是多少？
（3）在整個運動過程中，是否存在某一時刻t，使得以PQ為直徑的圓與y軸相切？若存在，求出相應的t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據已知得出0≤t≤3，過B作BD⊥OA于D，得出矩形OCBD，求出OA=OC=BD=4，BC=1，AD=3，AB=5，根據PB與AQ互相平分得出Q在BC上，根據平行四邊形的性質和判定得出4-t=2t-5，求出即可；
（2）①當0≤t＜

5

2

時，點Q在線段AB上運動，OP=t．AQ=2t，過Q作QH⊥OA于H，求出QH=QA•sin∠OAB=

8

5

t，求出S=-

4

5

（t-2）²+

16

5

，求出當t=2時，S有最大值是

16

5

；②當

5

2

≤≤3時，求出S=

1

2

•（4-t）•4=8-2t，求出當t=

5

2

時，S有最大值是3，即可得出答案；
（3）①當0≤t＜

5

2

時，點Q在線段AB上運動，求出P的坐標、Q的坐標，求出PQ²=（4-

6

5

t-t）²+（

8

5

t）²，求出PQ的中點的橫坐標是2-

t

10

，得出方程2-

t

10

=

1

2

PQ，代入求出即可；
②當

5

2

≤t≤3時，得出方程（3-

t

2

）²=

1

4

（9t²-36t+52），求出即可．

解答：解：（1）由題意得：0≤t≤3，
過B作BD⊥OA于D，
則四邊形OCBD是矩形，
∵A（4，0），B（1，4），
∴OA=OC=BD=4，BC=1，AD=4-1=3，
∴AB=

32+42

=5，
若PB與AQ互相平分，則Q在BC上，四邊形PABQ是平行四邊形，
∴PA=QB，
即4-t=2t-5，
∴t=3；

（2）①當0≤t＜

5

2

時，點Q在線段AB上運動，OP=t．AQ=2t，
如圖1，過Q作QH⊥OA于H，
則QH=QA•sin∠OAB=2t•

4

5

=

8

5

t，
即S=

1

2

PA•QH=

1

2

•（4-t）•

8

5

t
=-

4

5

（t-2）²+

16

5

，
∵a=-

4

5

＜0，
∴當t=2時，S有最大值是

16

5

；
②當

5

2

≤≤3時，點Q在線段BC上運動，
∴S=

1

2

•（4-t）•4=8-2t，
∵-2＜0，
∴S隨t的增大而減小，
∴當t=

5

2

時，S有最大值是3，
綜合上述，當t=2時，S有最大值是

16

5

；

（3）①如圖2，當0≤t＜

5

2

時，點Q在線段AB上運動，
由題意得：P的坐標是（t，0），Q的坐標是（4-

6

5

t，

8

5

t），
PQ²=（4-

6

5

t-t）²+（

8

5

t）²=

37

5

t²-

88

5

t+16，
PQ的中點的橫坐標是（t+4-

6

5

t）÷2=2-

t

10

，
若以PQ為直徑的圓與y軸相切，則2-

t

10

=

1

2

PQ，
∴（2-

t

10

）²=

1

4

（

37

5

t²-

88

5

t+16），
解得：t=0（舍去），t=

50

23

，
∵

50

23

＜

5

2

，
∴t=

50

23

符合題意；
②當

5

2

≤t≤3時，即Q在線段BC上運動時，
由題意P（t，0），Q（6-2t，4），
PQ²=（6-2t-t）²+16=9t²-36t+52，
PQ的中點的橫坐標是

t+6-2t

2

，即3-

t

2

，
若以PQ為直徑的圓與y軸相切，則3-

t

2

=

1

2

PQ，
∴（3-

t

2

）²=

1

4

（9t²-36t+52），
解得：t=1或t=2，均不符合題意，舍去．
綜上所述，存在時刻t=

50

23

，使得以PQ為直徑的圓與y軸相切．

點評：本題考查了矩形的性質和判定，平行四邊形的性質和判定，切線的性質和判定等知識點的應用，主要考查學生綜合運用性質進行計算的能力，題目比較好，但是有一定的難度．