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        1. (2013•衡水模擬)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形OABC是梯形,BC∥AO,頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn),頂點(diǎn)A(4,0),頂點(diǎn)B(1,4),動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿OA的方向向A運(yùn)動(dòng),同時(shí),動(dòng)點(diǎn)Q從A出發(fā),以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿A→B→C的方向向C運(yùn)動(dòng).當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)也隨之停止.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
          (1)當(dāng)t為何值時(shí),PB與AQ互相平分?
          (2)設(shè)△PAQ的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式.當(dāng)t為何值時(shí),S有最大值?最大值是多少?
          (3)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,是否存在某一時(shí)刻t,使得以PQ為直徑的圓與y軸相切?若存在,求出相應(yīng)的t值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
          分析:(1)根據(jù)已知得出0≤t≤3,過(guò)B作BD⊥OA于D,得出矩形OCBD,求出OA=OC=BD=4,BC=1,AD=3,AB=5,根據(jù)PB與AQ互相平分得出Q在BC上,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和判定得出4-t=2t-5,求出即可;
          (2)①當(dāng)0≤t<
          5
          2
          時(shí),點(diǎn)Q在線段AB上運(yùn)動(dòng),OP=t.AQ=2t,過(guò)Q作QH⊥OA于H,求出QH=QA•sin∠OAB=
          8
          5
          t,求出S=-
          4
          5
          (t-2)2+
          16
          5
          ,求出當(dāng)t=2時(shí),S有最大值是
          16
          5
          ;②當(dāng)
          5
          2
          ≤≤3時(shí),求出S=
          1
          2
          •(4-t)•4=8-2t,求出當(dāng)t=
          5
          2
          時(shí),S有最大值是3,即可得出答案;
          (3)①當(dāng)0≤t<
          5
          2
          時(shí),點(diǎn)Q在線段AB上運(yùn)動(dòng),求出P的坐標(biāo)、Q的坐標(biāo),求出PQ2=(4-
          6
          5
          t-t)2+(
          8
          5
          t)2,求出PQ的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2-
          t
          10
          ,得出方程2-
          t
          10
          =
          1
          2
          PQ,代入求出即可;
          ②當(dāng)
          5
          2
          ≤t≤3時(shí),得出方程(3-
          t
          2
          2=
          1
          4
          (9t2-36t+52),求出即可.
          解答:解:(1)由題意得:0≤t≤3,
          過(guò)B作BD⊥OA于D,
          則四邊形OCBD是矩形,
          ∵A(4,0),B(1,4),
          ∴OA=OC=BD=4,BC=1,AD=4-1=3,
          ∴AB=
          32+42
          =5,
          若PB與AQ互相平分,則Q在BC上,四邊形PABQ是平行四邊形,
          ∴PA=QB,
          即4-t=2t-5,
          ∴t=3;

          (2)①當(dāng)0≤t<
          5
          2
          時(shí),點(diǎn)Q在線段AB上運(yùn)動(dòng),OP=t.AQ=2t,
          如圖1,過(guò)Q作QH⊥OA于H,
          則QH=QA•sin∠OAB=2t•
          4
          5
          =
          8
          5
          t,
          即S=
          1
          2
          PA•QH=
          1
          2
          •(4-t)•
          8
          5
          t
          =-
          4
          5
          (t-2)2+
          16
          5
          ,
          ∵a=-
          4
          5
          <0,
          ∴當(dāng)t=2時(shí),S有最大值是
          16
          5

          ②當(dāng)
          5
          2
          ≤≤3時(shí),點(diǎn)Q在線段BC上運(yùn)動(dòng),
          ∴S=
          1
          2
          •(4-t)•4=8-2t,
          ∵-2<0,
          ∴S隨t的增大而減小,
          ∴當(dāng)t=
          5
          2
          時(shí),S有最大值是3,
          綜合上述,當(dāng)t=2時(shí),S有最大值是
          16
          5


          (3)①如圖2,當(dāng)0≤t<
          5
          2
          時(shí),點(diǎn)Q在線段AB上運(yùn)動(dòng),
          由題意得:P的坐標(biāo)是(t,0),Q的坐標(biāo)是(4-
          6
          5
          t,
          8
          5
          t),
          PQ2=(4-
          6
          5
          t-t)2+(
          8
          5
          t)2=
          37
          5
          t2-
          88
          5
          t+16,
          PQ的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是(t+4-
          6
          5
          t)÷2=2-
          t
          10
          ,
          若以PQ為直徑的圓與y軸相切,則2-
          t
          10
          =
          1
          2
          PQ,
          ∴(2-
          t
          10
          2=
          1
          4
          37
          5
          t2-
          88
          5
          t+16),
          解得:t=0(舍去),t=
          50
          23
          ,
          50
          23
          5
          2
          ,
          ∴t=
          50
          23
          符合題意;
          ②當(dāng)
          5
          2
          ≤t≤3時(shí),即Q在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),
          由題意P(t,0),Q(6-2t,4),
          PQ2=(6-2t-t)2+16=9t2-36t+52,
          PQ的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是
          t+6-2t
          2
          ,即3-
          t
          2
          ,
          若以PQ為直徑的圓與y軸相切,則3-
          t
          2
          =
          1
          2
          PQ,
          ∴(3-
          t
          2
          2=
          1
          4
          (9t2-36t+52),
          解得:t=1或t=2,均不符合題意,舍去.
          綜上所述,存在時(shí)刻t=
          50
          23
          ,使得以PQ為直徑的圓與y軸相切.
          點(diǎn)評(píng):本題考查了矩形的性質(zhì)和判定,平行四邊形的性質(zhì)和判定,切線的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用,主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算的能力,題目比較好,但是有一定的難度.
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          2
          2

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