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        1. 精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情
          (2013•衡水模擬)如圖1,在平面直角坐標系中,四邊形OABC是梯形,BC∥AO,頂點O在坐標原點,頂點A(4,0),頂點B(1,4),動點P從O點出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿OA的方向向A運動,同時,動點Q從A出發(fā),以每秒2個單位長度的速度沿A→B→C的方向向C運動.當其中一個點到達終點時,另一個也隨之停止.設運動時間為t秒.
          (1)當t為何值時,PB與AQ互相平分?
          (2)設△PAQ的面積為S,求S與t的函數關系式.當t為何值時,S有最大值?最大值是多少?
          (3)在整個運動過程中,是否存在某一時刻t,使得以PQ為直徑的圓與y軸相切?若存在,求出相應的t值;若不存在,請說明理由.
          分析:(1)根據已知得出0≤t≤3,過B作BD⊥OA于D,得出矩形OCBD,求出OA=OC=BD=4,BC=1,AD=3,AB=5,根據PB與AQ互相平分得出Q在BC上,根據平行四邊形的性質和判定得出4-t=2t-5,求出即可;
          (2)①當0≤t<
          5
          2
          時,點Q在線段AB上運動,OP=t.AQ=2t,過Q作QH⊥OA于H,求出QH=QA•sin∠OAB=
          8
          5
          t,求出S=-
          4
          5
          (t-2)2+
          16
          5
          ,求出當t=2時,S有最大值是
          16
          5
          ;②當
          5
          2
          ≤≤3時,求出S=
          1
          2
          •(4-t)•4=8-2t,求出當t=
          5
          2
          時,S有最大值是3,即可得出答案;
          (3)①當0≤t<
          5
          2
          時,點Q在線段AB上運動,求出P的坐標、Q的坐標,求出PQ2=(4-
          6
          5
          t-t)2+(
          8
          5
          t)2,求出PQ的中點的橫坐標是2-
          t
          10
          ,得出方程2-
          t
          10
          =
          1
          2
          PQ,代入求出即可;
          ②當
          5
          2
          ≤t≤3時,得出方程(3-
          t
          2
          2=
          1
          4
          (9t2-36t+52),求出即可.
          解答:解:(1)由題意得:0≤t≤3,
          過B作BD⊥OA于D,
          則四邊形OCBD是矩形,
          ∵A(4,0),B(1,4),
          ∴OA=OC=BD=4,BC=1,AD=4-1=3,
          ∴AB=
          32+42
          =5,
          若PB與AQ互相平分,則Q在BC上,四邊形PABQ是平行四邊形,
          ∴PA=QB,
          即4-t=2t-5,
          ∴t=3;

          (2)①當0≤t<
          5
          2
          時,點Q在線段AB上運動,OP=t.AQ=2t,
          如圖1,過Q作QH⊥OA于H,
          則QH=QA•sin∠OAB=2t•
          4
          5
          =
          8
          5
          t,
          即S=
          1
          2
          PA•QH=
          1
          2
          •(4-t)•
          8
          5
          t
          =-
          4
          5
          (t-2)2+
          16
          5
          ,
          ∵a=-
          4
          5
          <0,
          ∴當t=2時,S有最大值是
          16
          5
          ;
          ②當
          5
          2
          ≤≤3時,點Q在線段BC上運動,
          ∴S=
          1
          2
          •(4-t)•4=8-2t,
          ∵-2<0,
          ∴S隨t的增大而減小,
          ∴當t=
          5
          2
          時,S有最大值是3,
          綜合上述,當t=2時,S有最大值是
          16
          5
          ;

          (3)①如圖2,當0≤t<
          5
          2
          時,點Q在線段AB上運動,
          由題意得:P的坐標是(t,0),Q的坐標是(4-
          6
          5
          t,
          8
          5
          t),
          PQ2=(4-
          6
          5
          t-t)2+(
          8
          5
          t)2=
          37
          5
          t2-
          88
          5
          t+16,
          PQ的中點的橫坐標是(t+4-
          6
          5
          t)÷2=2-
          t
          10

          若以PQ為直徑的圓與y軸相切,則2-
          t
          10
          =
          1
          2
          PQ,
          ∴(2-
          t
          10
          2=
          1
          4
          37
          5
          t2-
          88
          5
          t+16),
          解得:t=0(舍去),t=
          50
          23
          ,
          50
          23
          5
          2

          ∴t=
          50
          23
          符合題意;
          ②當
          5
          2
          ≤t≤3時,即Q在線段BC上運動時,
          由題意P(t,0),Q(6-2t,4),
          PQ2=(6-2t-t)2+16=9t2-36t+52,
          PQ的中點的橫坐標是
          t+6-2t
          2
          ,即3-
          t
          2

          若以PQ為直徑的圓與y軸相切,則3-
          t
          2
          =
          1
          2
          PQ,
          ∴(3-
          t
          2
          2=
          1
          4
          (9t2-36t+52),
          解得:t=1或t=2,均不符合題意,舍去.
          綜上所述,存在時刻t=
          50
          23
          ,使得以PQ為直徑的圓與y軸相切.
          點評:本題考查了矩形的性質和判定,平行四邊形的性質和判定,切線的性質和判定等知識點的應用,主要考查學生綜合運用性質進行計算的能力,題目比較好,但是有一定的難度.
          練習冊系列答案
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