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        1. 【題目】有兩個(gè)內(nèi)角分別是它們對(duì)角的一半的四邊形叫做半對(duì)角四邊形.
          (1)如圖1,在半對(duì)角四邊形ABCD中,∠B= ∠D,∠C= ∠A,求∠B與∠C的度數(shù)之和;

          (2)如圖2,銳角△ABC內(nèi)接于⊙O,若邊AB上存在一點(diǎn)D,使得BD=BO.∠OBA的平分線交OA于點(diǎn)E,連結(jié)DE并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F,∠AFE=2∠EAF.

          求證:四邊形DBCF是半對(duì)角四邊形;
          (3)如圖3,在(2)的條件下,過(guò)點(diǎn)D作DG⊥OB于點(diǎn)H,交BC于點(diǎn)G.當(dāng)DH=BG時(shí),求△BGH與△ABC的面積之比.

          【答案】
          (1)

          解:在半對(duì)角四邊形ABCD中,∠B=∠D,∠C=∠A.

          ∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°,

          ∴3∠B+3∠C=360°.

          ∴∠B+∠C=120°.

          即∠B與∠C的度數(shù)之和120°.


          (2)

          證明:在△BED和△BEO中,

          .

          ∴△BED≌△BEO(SAS).

          ∴∠BDE=∠BOE.

          又∵∠BCF=∠BOE.

          ∴∠BCF=∠BDE.

          如下圖,連結(jié)OC.

          設(shè)∠EAF=.則∠AFE=2∠EAF=2.

          ∴∠EFC=180°-∠AFE=180°-2.

          ∵OA=OC,

          ∴∠OAC=∠OCA=.

          ∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-2.

          ∴∠ABC=∠AOC=∠EFC.

          ∴四邊形DBCF是半對(duì)角四邊形.


          (3)

          解:如下圖,作過(guò)點(diǎn)OM⊥BC于點(diǎn)M.

          ∵四邊形DBCF是半對(duì)角四邊形,

          ∴∠ABC+∠ACB=120°.

          ∴∠BAC=60°.

          ∴∠BOC=2∠BAC=120°.

          ∵OB=OC

          ∴∠OBC=∠OCB=30°.

          ∴BC=2BM=BO=BD.

          ∵DG⊥OB,

          ∴∠HGB=∠BAC=60°.

          ∵∠DBG=∠CBA,

          ∴△DBG△CBA.

          =2=.

          ∵DH=BG,BG=2HG.

          ∴DG=3HG.

          =

          =.


          【解析】(1)在半對(duì)角四邊形ABCD中,∠B=∠D,∠C=∠A;根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°,得出∠B與∠C的度數(shù)之和.
          (2)如圖連接OC,根據(jù)條件先證△BED≌△BEO,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠BCF=∠BOE=∠BDE;設(shè)∠EAF=.則∠AFE=2∠EAF=2得出∠EFC=180°-∠AFE=180°-2;再根據(jù)OA=OC得出∠OAC=∠OCA= , 根據(jù)三角形內(nèi)角和得出∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-2;從而得證.
          (3)如下圖,作過(guò)點(diǎn)OM⊥BC于點(diǎn)M,由四邊形DBCF是半對(duì)角四邊形,得出∠ABC+∠ACB=120°,∠BAC=60°.∠BOC=2∠BAC=120°;再由OB=OC,得出∠OBC=∠OCB=30°.BC=2BM=BO=BD;根據(jù)△DBG~△CBA得出答案.
          【考點(diǎn)精析】掌握三角形的內(nèi)角和外角和等腰三角形的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道三角形的三個(gè)內(nèi)角中,只可能有一個(gè)內(nèi)角是直角或鈍角;直角三角形的兩個(gè)銳角互余;三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和;三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角;等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)稱:等邊對(duì)等角).

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