Question

【題目】如圖①，若直線l︰y=－2x+4交x軸于點A、交y軸于點B，將△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到△COD．過點A，B，D的拋物線h︰y=ax2+bx+4．

（1）求拋物線h的表達(dá)式；

（2）若與y軸平行的直線m以1秒鐘一個單位長的速度從y軸向左平移，交線段CD于點M、交拋物線h于點N，求線段MN的最大值；

（3）如圖②，點E為拋物線h的頂點，點P是拋物線h在第二象限的上一動點（不與點D、B重合），連接PE，以PE為邊作圖示一側(cè)的正方形PEFG．隨著點P的運動，正方形的大小、位置也隨之改變，當(dāng)頂點F或G恰好落在y軸上時，直接寫出對應(yīng)的點P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）、、

【解析】

（1）先由直線l的解析式得到A,B兩點的坐標(biāo)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)得到D點的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式即可.

（2）設(shè)出點N的坐標(biāo)，縱坐標(biāo)用橫坐標(biāo)表示出來，同時也可以表示出M的坐標(biāo)，而MN的長度就是N點與M點的縱坐標(biāo)之差，作差之后發(fā)現(xiàn)是一個關(guān)于N點橫坐標(biāo)的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求最值即可.

（3）分別對頂點F和頂點G在y軸上分情況討論，求出點P的坐標(biāo)即可

（1）∵直線l：交x軸于點A、交y軸于點B，

∴，.

∵將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到，

∴，.

設(shè)過點A、B、D的拋物線h的解析式為：.

將B點坐標(biāo)代入可得：，

∴，故拋物線h的解析式為；

（2）∵，，

∴直線CD的解析式為.

設(shè)N點坐標(biāo)為，則M點坐標(biāo)為.

∴，

∴當(dāng)時，MN最大，最大值為；

（3）若G點在 y軸上，如圖，作PH⊥y軸于H，交拋物線對稱軸于K，

在和中，，

則，.

∵，∴.

設(shè)，

則：,.

∴，所以.

因此P點的坐標(biāo)為：，.

若F點在 y軸上，如圖，作PR垂直拋物線對稱軸于R，FQ垂直拋物線對稱軸于Q，則PER≌EFQ，∴ER=FQ，

所以，，即有：

∴或（舍去）

故P點的坐標(biāo)為：.

綜上所述，滿足要求的P點的坐標(biāo)有三個，分別為：

、、．