Question

已知：如圖，在?ABCD中，∠ADC、∠DAB的平分線DF、AE分別與線段BC相交于點(diǎn)F、E，DF與AE相交于點(diǎn)G．
（1）求證：AE⊥DF；
（2）若AD=10，AB=6，AE=4，求DF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)推出∠ADC+∠DAB=180°，根據(jù)角平分線得到∠ADF+∠DAE=

1

2

（∠ADC+∠DAB）=90°，即可求出結(jié)論；
（2）過(guò)點(diǎn)D作DH∥AE，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，得到平行四邊形AEHD，求出DH=AE=4，EH=AD=10，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)推出DC=FC，AB=EB，求出BF、FE、FH的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理即可求出答案．

解答：（1）證明：在?ABCD中AB∥CD，
∴∠ADC+∠DAB=180°．
∵DF、AE分別是∠ADC、∠DAB的平分線，
∴∠ADF=∠CDF=

1

2

∠ADC，∠DAE=∠BAE=

1

2

∠DAB，
∴∠ADF+∠DAE=

1

2

（∠ADC+∠DAB）=90°，
∴∠AGD=90°，
∴AE⊥DF；

（2）解：過(guò)點(diǎn)D作DH∥AE，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，
則四邊形AEHD是平行四邊形，且FD⊥DH．
∴DH=AE=4，EH=AD=10．
在?ABCD中AD∥BC，
∴∠ADF=∠CFD，∠DAE=∠BEA．
∴∠CDF=∠CFD，∠BAE=∠BEA．
∴DC=FC，AB=EB．
在?ABCD中，AD=BC=10，AB=DC=6，
∴CF=BE=6，BF=BC-CF=10-6=4．
∴FE=BE-BF=6-4=2，
∴FH=FE+EH=12，
在Rt△FDH中，DF=

FH2-DH2

=

122-42

=8

2

．
答：DF的長(zhǎng)是8

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，垂線的定義等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，熟練地運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行證明是解此題的關(guān)鍵，題型較好，綜合性強(qiáng)．