Question

【題目】問題背景：

如圖1，△ABC為等邊三角形，作AD⊥BC于點(diǎn)D，將∠ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后，BA，BC邊與射線AD分別交于點(diǎn)E,F，求證：△BEF為等邊三角形.

遷移應(yīng)用：

如圖2，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)P是△ABC外一點(diǎn)，∠BPC=60°，將∠BPC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后，PC邊恰好經(jīng)過點(diǎn)A，探究PA,PB,PC之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

拓展延伸：

如圖3，在菱形ABCD中，∠ABC=60°,將∠ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖所在的位置得到∠MBN，F(xiàn)是BM上一點(diǎn)，連接AF，DF，DF交BN于點(diǎn)E,若B,E兩點(diǎn)恰好關(guān)于直線AF對稱.

（1）證明△BEF是等邊三角形；

（2）若DE=6,BE=2,求AF的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2） PC=PA+PB；（3）

【解析】分析: （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠EBF=60°, 又由BD⊥AC得到∠BED=60°,從而得出結(jié)論; （2）在PC上截取PD=PB,連接BD,通過證明△APB≌△CBG得PA=GC,即可得出結(jié)論;(3) ①依據(jù)B,E兩點(diǎn)關(guān)于直線AF對稱得FE=FB,又由于∠EBF=60°即可得出結(jié)論; ②連接AE,過點(diǎn)A作AH⊥DE于點(diǎn)H，可得DH=3,HF=5, ∠EFA=30°,在Rt△AHF中，利用∠HFA的余弦即可求出AF的值.

詳解:

(1)證明：∵△ABC為等邊三角形，

∴AB＝AC=BC,∠BAC＝∠ABC=∠ACB=60°，

由題意得，∠ABE=30°，∠EBF=60°，

∴∠EBD=∠FBD=30°,

∵BD⊥AC，∴∠BED=60°,

∴△BEF為等邊三角形;

（2） PC=PA+PB.

證明：在PC上截取PD=PB,連接BD,

∵∠BPC=60°，∴△BPG為等邊三角形,

∴BG=BP,∠PBG=60°,PB=BG,

∴∠PBA+∠ABG=∠ABG+∠GBC=60°

∴∠PBA=∠GBC

又AB=BC,∴△APB≌△CBG,

∴PA=GC,

∴PC=PG+CG=PB+PA

(3)①∵B,E兩點(diǎn)關(guān)于直線AF對稱，∴FE=FB,

∵∠EBF=60°，∴△BEF是等邊三角形；

②連接AE,過點(diǎn)A作AH⊥DE于點(diǎn)H，

∵B,E兩點(diǎn)關(guān)于直線AF對稱，∴AE=AB,

∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD,

∴AE=AD,所以DH=HE=DE=3，

∴HF=HE+EF=3+2=5，

由①知，△BEF是等邊三角形，FA⊥EB,

∴∠EFA=∠EFB=30°

.在Rt△AHF中，cos∠HFA==,

∴AF=.

點(diǎn)睛:本題考查了等邊三角形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù), 解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，靈活運(yùn)用三角形相似．