Question

如圖所示①，已知AB是⊙O中一條固定的弦，點(diǎn)C是優(yōu)弧的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)C不與A、B重合)．

(1)設(shè)∠ACB的角平分線與劣弧交于點(diǎn)P，試猜想點(diǎn)P在上的位置是否會(huì)隨點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)而變化?請(qǐng)說明理由．

(2)如圖②，設(shè)AB=8，⊙O半徑為5，在(1)的條件下，四邊形ACBP的面積是否是定值?若是定值，求出這個(gè)定值；若不是定值，求出四邊形ACBP面積的取值范圍．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)點(diǎn)P位置不會(huì)隨點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)而變化． ∵CP平分∠ACB，∴∠ACP=∠BCP， ∴=， 即P是劣弧AB的中點(diǎn)． ∴點(diǎn)P位置不會(huì)變化． (2)∵△ABC的面積不是定值，△ABP的面積為定值 ∴四邊形ACBP的面積不是定值． 如圖②，連接OP，交AB于E， ∵=，OP是半徑． ∴OP⊥AB，． ∵OA=5． ∴，PE=2． ∴． ∴當(dāng)CP經(jīng)過圓心O時(shí)，如圖，C到AB距離最大，即△ABC的AB邊上的最大高線是CE=8． ∵AB=8，∴△ABC的最大面積是32． ∴四邊形ACBP的最大面積是40． 綜上，四邊形ACBP的面積不是定值，它的取值范圍是．

提示：

(1)點(diǎn)P是否會(huì)隨C運(yùn)動(dòng)而變化位置關(guān)鍵是看P有何特殊性質(zhì)，由PC是∠ACB的平分線可知兩圓周角∠ACP和∠BCP相等，則可得與相等． (2)中四邊形ACBP的面積可看成兩個(gè)三角形面積之和，其中△ABP面積是定值，而△ACB的底是AB，高是C到AB的距離，當(dāng)CP經(jīng)過圓心時(shí)，C到AB的距離最大，△ABC面積最大，則四邊形ACBP面積也最大．