Question

一次函數(shù)y=ax+b的圖象分別與x軸、y軸交于點M，N，與反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象相交于點A，B．過點A分別作AC⊥x軸，AE⊥y軸，垂足分別為C，E；過點B分別作BF⊥x軸，BD⊥y軸，垂足分別為F，DAC與BD交于點K，連接CD．對于下述結(jié)論：
①S_{四邊形AEDK}=S_{四邊形CFBK}；
②AN=BM．
③AB∥CD；不論點A，B在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象的同一分支上（如圖1）；還是點A，B分別在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象的不同分支上（如圖2），都正確的是（　�。�

A．①②

B．①③

C．②③

D．①②③

Answer 1

分析：在圖1中，設(shè)A（a，b）B（m，n），代入反比例函數(shù)求出ab=k，mn=k，求出S_{四邊形AEOC}=S_{四邊形BDOF}=k，即可判斷①；連接AD，BC，過D作DZ⊥AB于Z，過C作CH⊥AB于H，根據(jù)三角形面積公式求出S_△ADC=S_△BDC，推出DZ=CH，得出四邊形DCHZ是矩形，推出DC∥AB，求出四邊形ANDC和四邊形BMCD都是平行四邊形，推出AN=BM=DC，即可判斷②③；在圖2中，解的過程與在圖1中類似．

解答：解：設(shè)A（a，b），B（m，n），
∵A、B都在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上，
∴代入得：ab=k，mn=k，
∴S_{四邊形AEOC}=OC×AC=ab=k，
S_{四邊形BDOF}=OF×BF=mn=k，
∴S_{四邊形AEOC}=S_{四邊形BDOF}，
∴S_{四邊形AEOC}-S_{四邊形DKCO}=S_{四邊形BDOF}-S_{四邊形DKCO}，
∴S_{四邊形AEDK}=S_{四邊形CFBK}，∴①正確；
圖1中，連接AD，BC，過D作DZ⊥AB于Z，過C作CH⊥AB于H，
∵S_△ADC=

1

2

AC×DK=

1

2

ab=

1

2

k，S_△BCD=

1

2

BD×CK=

1

2

mn=

1

2

k，
∴S_△ADC=S_△BDC，
∴根據(jù)等底等高的三角形面積相等得出DZ=CH，
∵DZ∥CH，∠ZDC=90°，
∴四邊形DCHZ是矩形，
∴DC∥AB，
∵AC∥ON，DB∥OM，
∴四邊形ANDC和四邊形BMCD都是平行四邊形，
∴AN=DC，BM=DC，
∴AN=BM，∴在圖1中②正確；③正確；
在圖2中，連接AD，BC，
∵S_{四邊形AEDK}=S_{四邊形AEOC}+S_{四邊形OCKD}，S_{四邊形BFCK}=S_{四邊形BFOD}+S_{四邊形OCKD}，
又∵S_{四邊形AEOC}=S_{四邊形BFOD}=k，
∴S_{四邊形AEDK}=S_{四邊形BFCK}，
∴AK×DK=BK×CK，
∴

AK

CK

=

BK

DK

，
∵∠K=∠K，
∴△CDK∽△ABK，
∴∠CDK=∠ABK，
∴DC∥AB，
∵AC∥DE，
即AN∥CD，AC∥DN，
∴四邊形DNAC是平行四邊形，
∴AN=CD，
同理BM=CD，
∴AN=BM，∴在圖2中，②正確；③正確；
故選D．

點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)，三角形的面積，反比例函數(shù)的圖象上點的坐標(biāo)特征等知識點的綜合運用，能綜合運用性質(zhì)進行推理和計算是解此題的關(guān)鍵．