Question

如圖，點(diǎn)G是正方形ABCD對(duì)角線CA的延長線上任意一點(diǎn)，以線段AG為邊作一個(gè)正方形AEFG，線段EB和GD相交于點(diǎn)H．
（1）求證：EB=GD；
（2）判斷EB與GD的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）若AB=2，AG=

2

，求EB的長．

Answer 1

（1）證明：在△GAD和△EAB中，∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90°+∠EAD
∴∠GAD=∠EAB，
∵四邊形EFGA和四邊形ABCD是正方形，
∴AG=AE，AB=AD，
在△GAD和△EAB中

AB=AD ∠EAB=∠GAD AE=AG

，
∴△GAD≌△EAB（SAS），
∴EB=GD；

（2）EB⊥GD．
理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，
∴∠AMB+∠ABM=90°，
又∵△AEB≌△AGD，
∴∠GDA=∠EBA，
∵∠HMD=∠AMB（對(duì)頂角相等），
∴∠HDM+∠DMH=∠AMB+∠ABM=90°，
∴∠DHM=180°-（∠HDM+∠DMH）=180°-90°=90°，
∴EB⊥GD．


（3）連接AC、BD，BD與AC交于點(diǎn)O，
∵AB=AD=2，在Rt△ABD中，DB=

AB2+AD2

=2

2

，
在Rt△AOB中，OA=OB，AB=2，由勾股定理得：2AO²=2²，
OA=

2

，
即OG=OA+AG=

2

+

2

=2

2

，
∴EB=GD=

OG2+OD2

=

8+2

=

10

．