Question

如圖DE是△ABC的中位線，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，CF的延長線交AB于點(diǎn)G，則
（1）

DF

BC

=

1

4

；
（2）

S△AGC

S△BGC

=

1

2

．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)镈E是△ABC的中位線，所以DE=

1

2

BC，因?yàn)镕是DE的中點(diǎn)，所以DF是BC的

1

4

，問題得解；
（2）因?yàn)椤鰽GC和△BGC中BG和AG邊上的高相等，所以其面積比可轉(zhuǎn)化為底之比即AG：BG的比值，過E作EM∥AB與GC交于點(diǎn)M，構(gòu)造全等三角形把DG轉(zhuǎn)移到和AG有關(guān)的中位線處，可得所求線段的比，進(jìn)而求出面積比．

解答：解：（1）∵DE是△ABC的中位線，
∴DE=

1

2

BC，
∵F是DE的中點(diǎn)，
∴DF=

1

2

DE，
∴DF=

1

4

BC，
∴

DF

BC

=

1

4

；

（2）過E作EM∥AB與GC交于點(diǎn)M，
∴△EMF≌△DGF，
∴EM=GD，
∵DE是中位線，
∴CE=

1

2

AC，
又∵EM∥AG，
∴△CME∽△CGA，
∴EM：AG=CE：AC=1：2，
又∵EM=GD，
∴AG：GD=2：1，
∵D是AB中點(diǎn)，
∴AD=BD，
∴BG：AG=2：1，
∴

S△AGC

S△BGC

=

1

2

，
故答案為：

1

4

；

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查三角形中位線定理和全等三角形的性質(zhì)，由中點(diǎn)構(gòu)造全等三角形，從而將求解同一直線上的兩條線段的比值問題轉(zhuǎn)化為不共線的兩條線段的比值問題．