Question

在平面直角坐標系中，以點P（3，0）為圓心，以6為半徑的圓與y軸的正半軸相交于點C，與x軸分別交于A、B兩點．
（1）試確定經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式；
（2）在BC上確定一點D，使BD：CD=AB：AC，并給出證明；
（3）設(shè)AD交y軸于E，過E作EF∥AB，交BC于F．求證：2EF=AB；
（4）延長AD交⊙P于點G，求證：△CDG≌△EDF．

Answer 1

分析：（1）已知了圓的半徑和圓心的坐標即可求出A、B兩點的坐標，AB為直徑則∠ACB=90°，根據(jù)射影定理可求出OC的長，然后根據(jù)A、B、C的坐標用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式．
（2）由（1）中A、C、B三點坐標不難得出∠ACB=60°，∠ABC=30°，如果作∠CAB的角平分線，那么D就是∠CAB的角平分線與BC的交點．此時∠BAD=∠ABD=30°，AD=BD，而根據(jù)相似安吉縣ACD和BCA可得出AD：AB=CD：AC，將相等的線段進行置換即可得出本題所求的結(jié)論．
（3）在直角三角形EOA中，根據(jù)∠EAO=30°以及OA的長，可求出AE的長，根據(jù)（2）的結(jié)果和BC的長不難求出BD即AD的長，可發(fā)現(xiàn)AE=DE，過E作EF∥AB，那么EF就是△ABD的中位線，因此EF=

1

2

AB．
（4）由于∠ECD=∠CED=∠AEO=60°，因此△CED是等邊三角形，CD=DE，由此就不難的得出兩三角形全等了．

解答：（1）解：易求得A（-3，0）、B（9，0）、C（0，3

3

）．
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，則有：

9a-3b+c=0 81a+9b+c=0 c=3 3

解得：

a=- 3 9 b= 2 3 3 c=3 3

∴拋物線的解析式為：y=-

3

9

x²+

2 3

3

x+3

3

．

（2）解：由題可得：∠CAB=60°，∠ABC=30°
作∠CAB的平分線AD交OC于E，交BC于D，D點即為所求的點，
易證：AD=BD，△ACD∽△BCA
∴CD：AD=AC：AB
即BD：CD=AB：AC

（3）證明：由題可得：AE=2

3

，AD=4

3

∴E為AD的中點
∵EF∥AB
∴EF是△ABD的中位線
∴2EF=AB．

（4）證明：由題可得：∠ECD=∠CED
∴CD=ED，∠DCG=∠DEF，∠CDG=∠EDF
∴△CDG≌△EDF．

點評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、中位線定理等重要知識點，綜合性強，能力要求較高．