Question

下圖①是邊長分別為4和3的兩個等邊三角形紙片ABC和疊放在一起(C與重合)．

(1)操作：固定△ABC，將△繞點C順時針旋轉(zhuǎn)30°得到△CDE，連接AD、BE，CE的延長線交AB于點F(如圖②)．

探究：在圖②中，線段BE與AD之間有怎樣的大小關(guān)系？試證明你的結(jié)論．

(2)操作：將圖②中的△CDE，在線段CF上沿著CF方向以每秒1個單位的速度平移，CF為∠ACB的平分線，平移后的△CDE設為△PQR(如圖③)．

探究：設△PQR移動的時間為xs，△PQR與△AFC重疊部分的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)自變量x的取值范圍．

(3)操作：將圖①中△固定，將△ABC移動，使頂點C落在的中點，邊BC交于點M，邊AC交于點N，設∠AC＝α(30°＜α＜90°)(如圖④)．

探究：在圖④中，線段N·M的值是否隨α的變化而變化？如果沒有變化，請求出N·M的值；如果有變化，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

分析：本題是操作、探究結(jié)論型開放題．解題時抓住△ABC和△CDE都是等邊三角形，各個角都是60°這一特征，同時注意圖形運動的過程，“化動為靜”，“以靜制動”． 　　解：(1)BE＝AD． 　　證明：因為△ABC與△DCE都是等邊三角形， 　　所以∠ACB＝∠DCE＝60°，CA＝CB，CE＝CD． 　　又∠BCE＝30°，則∠BCE＝∠ACD＝30°． 　　所以△BCE≌△ACD． 　　所以BE＝AD．(也可用旋轉(zhuǎn)方法證明BE＝AD) 　　(2)如圖，在△CQT中， 　　因為∠TCQ＝30°，∠PQT＝60°，所以∠QTC＝30°． 　　所以∠QTC＝∠TCQ．所以QT＝QC＝x，即RT＝3－x． 　　因為∠RTS＋∠R＝90°， 　　所以∠RST＝90°． 　　所以y＝S△PQR－SRt△RST＝×32－×(3－x)2(0≤x≤3)． 　　(3)N·M的值不變． 　　證明：因為∠ACB＝60°， 　　所以∠MC＋∠NC＝120°． 　　因為∠CN十∠NC＝120°， 　　所以∠MC＝∠CN． 　　因為∠＝∠，則△MC∽△CN． 　　所以＝． 　　即N·M＝C·C＝×＝．