Question

下圖甲是任意一個(gè)直角三角形ABC，它的兩條直角邊的邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c．如圖乙、丙那樣分別取四個(gè)與直角三角形ABC全等的三角形，放在邊長(zhǎng)為a+b的正方形內(nèi)．

①圖乙、圖丙中（1）（2）（3）都是正方形．由圖可知：（1）是以

a

為邊長(zhǎng)的正方形，（2）是以

b

為邊長(zhǎng)的正方形，（3）的四條邊長(zhǎng)都是

c

，且每個(gè)角都是直角，所以（3）是以

c

為邊長(zhǎng)的正方形．
②圖中（1）的面積

a ²

，（2）的面積為

b ²

，（3）的面積為

c ²

．
③圖中（1）（2）面積之和為

a²+b ²

．
④圖中（1）（2）的面積之和與正方形（3）的面積有什么關(guān)系？為什么？由此你能得到關(guān)于直角三角形三邊長(zhǎng)的關(guān)系嗎？

Answer 1

分析：根據(jù)圖形可以直接得出各正方形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而得出各正方形面積，再通過兩個(gè)組合正方形的面積之間相等的關(guān)系即可證明勾股定理．

解答：解：①圖乙、圖丙中（1）（2）（3）都是正方形．由圖可知：（1）是以a為邊長(zhǎng)的正方形，（2）是以b為邊長(zhǎng)的正方形，
（3）的四條邊長(zhǎng)都是c，且每個(gè)角都是直角，所以（3）是以c為邊長(zhǎng)的正方形．
②圖中（1）的面積a ²，（2）的面積為b ²，（3）的面積為c ²．
③圖中（1）（2）面積之和為a²+b ²．
④由圖乙和圖丙可知大正方形的邊長(zhǎng)為：a+b，則面積為（a+b）²，
圖乙中把大正方形的面積分為了四部分，分別是：邊長(zhǎng)為a的正方形，邊長(zhǎng)為b的正方形，還有兩個(gè)長(zhǎng)為b，寬為a的長(zhǎng)方形，
根據(jù)面積相等得：（a+b）2=a2+b2+4×

1

2

ab，
由圖丙可得（a+b）2=c2+4×

1

2

ab．
所以a²+b²=c²．
故答案為：①a，b，c，c；②a ²，b²，c ²；③a²+b ²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用圖形面積的關(guān)系證明勾股定理，解題關(guān)鍵是利用三角形和正方形邊長(zhǎng)的關(guān)系進(jìn)行組合圖形，