Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-2），以點(diǎn)A為圓心、AO為半徑畫圓，直線y=-x+4與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)E是x軸上的一個動點(diǎn)．
（1）求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）直線CE與⊙O有哪幾種位置關(guān)系？
（3）當(dāng)直線CE是⊙O的切線時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）對于y=-x+4，令y=0，則x=4；令x=0，則y=4，即可得到B點(diǎn)和C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)直線與圓的三種位置關(guān)系進(jìn)行回答；
（3）分類討論：設(shè)直線CE與⊙O相切于點(diǎn)P（點(diǎn)P在第四象限），交x軸于點(diǎn)E，連接AP，根據(jù)切線的性質(zhì)得到AP⊥CP，先得到OC=4，OA=2，再利用勾股定理計(jì)算出PC=4

2

，根據(jù)相似三角形的判定方法得到Rt△COE∽Rt△CPA，則OE：PA=OC：CP，即OE：2=4：4

2

，可求出OE=

2

，E點(diǎn)坐標(biāo)為（

2

，0），當(dāng)⊙O的切線為CP′，P′為切點(diǎn)，CP′與x軸的交點(diǎn)為E′，然后根據(jù)切線長定理得到
CO垂直平分EE′，則點(diǎn)E′的坐標(biāo)為（-

2

，0），即可得到滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為（

2

，0），（-

2

，0）．

解答：解：（1）在直線y=-x+4中，
令y=0，則x=4，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），
令x=0，則y=4，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4）；

（2）直線CE與⊙O有相離、相切、相交三種位置關(guān)系；

（3）設(shè)直線CE與⊙O相切于點(diǎn)P（點(diǎn)P在第四象限），交x軸于點(diǎn)E，連接AP，如圖，則AP⊥CP，
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2），
∴OC=4，OA=2，
在Rt△CAP中，AC=OA+OC=6，AP=OA=2，PC=

AC2-AP2

=4

2

，
∵∠ECO=∠ACP，
∴Rt△COE∽Rt△CPA，
∴OE：PA=OC：CP，即OE：2=4：4

2

，
∴OE=

2

，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（

2

，0），
當(dāng)⊙O的切線為CP′，P′為切點(diǎn)，CP′與x軸的交點(diǎn)為E′，則CA平分∠PCP′，則CO垂直平分EE′，則點(diǎn)E′的坐標(biāo)為（-

2

，0），
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（

2

，0），（-

2

，0）．

點(diǎn)評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握切線的性質(zhì)定理、切線長定理和直線與圓的位置關(guān)系等是解決圓的綜合題的關(guān)鍵；運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理是解決幾何計(jì)算常用的方法；對于綜合題一般采用各個擊破的方式解決．