Question

【題目】如圖，ABCD是平行四邊形，E、F是對角線AC上的兩點，若∠ABF＝∠CDE＝90°.

(1)求證：四邊形BEDF是平行四邊形；

(2)若AB＝AD＝8，BF＝6，求AE的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2).

【解析】

(1)由平行四邊形的性質(zhì)得出AB＝CD，AB∥CD，證出∠BAC＝∠DCA，由ASA證明△ABF≌△CDE，得出BF＝DE，∠AFB＝∠CED，證出BF∥DE，即可得出結論；

(2)連接BD交AC于G，證明四邊形ABCD是菱形，得出AC⊥BD，證出四邊形BEDF是菱形，得出BE＝BF＝6，由勾股定理求出AF，由三角形的面積關系求出BG，再由勾股定理求出EG，即可得出結果．

(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB＝CD，AB∥CD，

∴∠BAC＝∠DCA，

在△ABF和△CDE中，，

∴△ABF≌△CDE(ASA)，

∴BF＝DE，∠AFB＝∠CED，

∴BF∥DE，

∴四邊形BEDF是平行四邊形；

(2)連接BD交AC于G，如圖所示：

∵AB＝AD，

∴四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∴四邊形BEDF是菱形，

∴BE＝BF＝6，EG＝FG，

∵∠ABF＝90°，AB＝AD＝8，BF＝6，

∴AF＝＝10，

∵△ABF的面積＝AF·BG＝AB×BF，

∴BG＝＝，

∴EG＝＝，

∴AE＝AF－2EG＝10－2×＝.