Question

如圖，已知：點(diǎn)A（3，0），B（0，4）分別是x軸，y軸上的點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P和Q分別從原點(diǎn)出發(fā)，沿x軸，y軸正方向運(yùn)動(dòng)，速度分別是2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒和1單位長(zhǎng)度/秒，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)1.5＜t＜4時(shí)，連接PQ交直線AB于點(diǎn)C，過點(diǎn)Q作QD∥BA交x軸正方向于點(diǎn)D．
（1）求AB的長(zhǎng)度；
（2）試證明QD=DP；
（3）當(dāng)以O(shè)，A，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，求t的值．

Answer 1

分析：（1）在Rt△BOA中，由勾股定理求出即可；
（2）根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠QDO=∠BAO，即sin∠QDO=sin∠BAO，得出

OQ

QD

=

BO

AB

，求出QD=

5

4

t，同理OD=

3

4

t，求出DP，即可得出答案；
（3）過C作CM⊥OA于M，求出AC=AP=2t-3，根據(jù)解直角扇形求出AM、CM，OM，分為三種情況①OC=AC，②OC=AO，③OA=AC，代入求出即可．

解答：解：（1）在Rt△BOA中，BO=4，AO=3，由勾股定理得：AB=

32+42

=5；

（2）∵QD∥AB，
∴∠QDO=∠BAO，
∴sin∠QDO=sin∠BAO，
∴

OQ

QD

=

BO

AB

，
∴

t

QD

=

4

5

，
∴QD=

5

4

t，
同理OD=

3

4

t，
∴DP=2t-

3

4

t=

5

4

t，
∴QD=DP；

（3）過C作CM⊥OA于M，
∵QD∥AC，
∴∠ACP=∠DQP，
∵DQ=DP，
∴∠CPA=∠DQP，
∴∠APC=∠ACP，
∴AC=AP=2t-3，
∵sin∠CAM=

CM

AC

=

4

5

，cos∠CAM=

AM

AC

=

3

5

，
∴CM=

4

5

（2t-3），AM=

3

5

（2t-3），
∴OM=3-

3

5

（2t-3）=

24

5

-

6

5

t，
分為三種情況：①AC=OA，
2t-3=3，
t=3；
②OC=AC，
（

24

5

-

6

5

t）²+[

4

5

（2t-3）]²=（2t-3）²
解得：t=

11

4

，
③OC=OA，
（

24

5

-

6

5

t）²+[

4

5

（2t-3）]²=3²，
解得：t₁=1.5，t₂=3.3，
∵1.5＜t＜4，
∴t₁=1.5舍去，
即t的值是3或

11

4

或3.3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的判定，平行線性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．