Question

（2009•寶山區(qū)一模）如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=4，AD=CD=5，．點P在邊BC上運動（點P不與點B、點C重合），一束光線從點A出發(fā)，沿AP的方向射出，經(jīng)BC反射后，反射光線PE交射線CD于點E．

（1）當PE=CE時，求BP的長度；
（2）當點E落在線段CD上時，設BP=x，DE=y，試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并寫出其定義域；
（3）連接PD，若以點A、P、D為頂點的三角形與△PCE相似，試求BP的長度．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)已知證明∠APB=∠C，再根據(jù)三角函數(shù)的知識得出PE=CE時，BP的長度；
（2）延長PE與AD的延長線交于點F，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出與x之間的函數(shù)關(guān)系；
（3）若△APD與△PCE相似，則有兩種情況：（�。�∠ADP=∠C時，△APD∽△PEC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出BP的長度；（ⅱ）∠APD=∠C時，△APD∽△DCP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出BP的長度．
解答：解：（1）根據(jù)已知，得BC=8，∠APB=∠EPC（1分）
∵PE=CE∴∠EPC=∠C
∴∠APB=∠C
（方法一）∵cot∠C=∴（1分）
∵AB=4∴BP=3（1分）
即BP=3時，PE=CE
（方法二）∴AP∥DC
∴PC=AD=5（1分）
∴BP=3（1分）
即BP=3時，PE=CE

（2）延長PE與AD的延長線交于點F，
∵BP=x，
∴PC=8-x，AF=2x（1分）
∵DE=y，DC=AD=5，
∴EC=5-y，DF=2x-5
∵AF∥BC
∴（1分）
即（1分）
∴（1分）
∵點E在線段CD上
∴函數(shù)定義域為＜8（1分）

（3）∵AD∥BC∴∠DAP=∠APB，
∵∠APB=∠EPC∴∠DAP=∠EPC（1分）
若△APD與△PCE相似，則有如下兩種情況：
（ⅰ）∠ADP=∠C時，
推出BP=2時，△APD∽△PEC；（2分）
（ⅱ）∠APD=∠C時
（法一）又∵∠ADP=∠DPC∴△APD∽△DCP
∴PD²=AD•PC
∵PD²=4²+（5-x）²（1分）
∴16+（5-x）²=5（8-x）（1分）
解得，經(jīng)檢驗，均符合題意
故時，△APD∽△PCE；（1分）
∴當BP為2，時，△APD與△PCE相似．
（法二）過點D作DH⊥AP于點H
∵∠DAP=∠APB∴
∵
∴
∴（1分）
∵cot∠C=∴（1分）
解得x=，或x=（舍去），
故x=時，△APD∽△PCE；（1分）
∴當BP為2，時，△APD與△PCE相似．
點評：本題主要考查了梯形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)以及函數(shù)知識的綜合應用，要根據(jù)對應角的不同進行分類求解．