Question

（1）如圖1，在矩形紙片ABCD中，AB=2，∠ADB=30°，現(xiàn)將矩形紙片沿對角線BD折疊，（使△CBD和△EBD落在同一平面內(nèi)）則AE兩點間的距離為______．
（2）求x的值，3^2x+1+9^x+1=36．
（3）如圖2，廠A和工廠B被一條河隔開，它們到河的距離都是2km，兩個廠的水平距離都是3km，河寬1km，現(xiàn)在要架一座垂直于河岸的橋，使工廠A到工廠B的距離最短．（河的兩岸是平行的）
①請畫出架橋的位置．（不寫畫法）
②求從工廠A經(jīng)過橋到工廠B的最短路程．

Answer 1

解：（1）由矩形的性質(zhì)可知△ABD≌△CDB，由折疊的性質(zhì)可知△CDB≌△EDB，
∴△ABD≌△EDB，
根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊上的高相等，可知AE∥BD，
∵AD∥BC，△CDB≌△EDB，
∴∠EBD=∠CBD=∠ADB=30°，
∴∠ABE=90°-∠EBD-∠CBD=30°，
∠AEB=∠EBD=30°，即∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=2；
故答案為：2；

（2）由3^2x×3+9^x×9=36，
得3^2x×3+3^2x×9=36，
有3^2x（3+9）=36，
∴3^2x=3，
2x=1，
解得：x=，

（3）①如圖所示，AA′=1km，則MN為架橋的位置．
②過點B作BE⊥AA′交其延長線于點E．
則A′E=4，BE=3，
A′B=
=
=5，
則從A到B的最短路程是：
AM+MN+BN=A′B+MN，
=5+1，
=6（km），
答：從工廠A經(jīng)過橋到工廠B的最短路程是6km．
分析：（1）由矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)可證△ABD≌△EDB，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊上的高相等，可證四邊形ABDE為梯形，再根據(jù)角的關(guān)系證明△ABE為等腰三角形即可．
（2）首先把算式變形為3^2x×3+3^2x×9=36，再提取公因式3^2x，可得3^2x（3+9）=36，進而得到3^2x=3，即2x=1，再解方程即可；
（3）①根據(jù)兩點間直線距離最短，使AMNA′為平行四邊形即可，即AA′垂直河岸且等于河寬，接連A′B，
②根據(jù)已知數(shù)據(jù)由勾股定理求出A′B的長即可．
點評：此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)和冪的乘方與積的乘方等知識，根據(jù)已知得出A′B是解題關(guān)鍵．