Question

如圖，任意畫一個∠A=60°的△ABC，再分別作△ABC的兩條角平分線BE和CD交AB、CE于點D、E，BE和ED交于點P，連接AP．以下結(jié)論：
①∠BPC=120°；②PD=PE；③S_△PBD+S_△PCE=S_△PBC；④AD+AE=

3

AP．
其中正確的序號是（　　）

A．①②③④

B．①②③

C．①②④

D．②③④

Answer 1

分析：由于BE、CD分別是∠ABC與∠ACB的角平分線，∠BAC=60°可得出∠PBC+∠PCB的度數(shù)，再由三角形內(nèi)角和定理可求出∠BPC的度數(shù)；由∠BPC=120°可知∠DPE=120°，過點P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，由角平分線的性質(zhì)可知AP是∠BAC的平分線，PF=PG=PH，故∠AFP=∠AGP=90°，由四邊形內(nèi)角和定理可得出∠FPG=120°，故∠DPF=∠EPG，由全等三角形的判定定理可得出△PFD≌△PGE，故可得出PD=PE；由三角形全等的判定定理可得出△BHP≌△BFP，△CHP≌△CGP，故可得出BH=BD+DF，CH=CE-GE，再由DF=EG可得出BC=BD+CE，故可得出S_△PBD+S_△PCE=S_△PBC；由AP是∠BAC的平分線可用AP表示出AF及AG的長，再根據(jù)DF=EG即可得出AD+AE=

3

AP．

解答：解：∵BE、CD分別是∠ABC與∠ACB的角平分線，∠BAC=60°，
∴∠PBC+∠PCB=

1

2

（180°-∠BAC）=

1

2

（180°-60°）=60°，
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-60°=120°，故①正確；
∵∠BPC=120°，
∴∠DPE=120°，
過點P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，
∵BE、CD分別是∠ABC與∠ACB的角平分線，
∴AP是∠BAC的平分線，PF=PG=PH，
∵∠BAC=60°∠AFP=∠AGP=90°，
∴∠FPG=120°，
∴∠DPF=∠EPG，
在△PFD與△PGE中，
∵

∠DFP=∠EGP=90° PF=PG ∠DPF=∠EPG

，
∴△PFD≌△PGE，
∴PD=PE，
在Rt△BHP與Rt△BFP中，
∵

PF=PH BP=BP

∴Rt△BHP≌Rt△BFP，
同理，Rt△CHP≌Rt△CGP，
∴BH=BD+DF①，CH=CE-GE②，
兩式相加得，BH+CH=BD+DF+CE-GE，
∵DF=EG，
∴BC=BD+CE，
∴S_△PBD+S_△PCE=S_△PBC，故③正確；
∵AP是∠BAC的平分線，∠BAC=60°，
∴∠BAP=∠CAP=30°，
∴AD-DF=AF=

3

2

AP，AE+EG=

3

2

AP，
∵DF=EG，
∴AD+AE=

3

AP，故④正確．
故選A．

點評：本題考查的是角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．