Question

已知：如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點E．
（1）當AB≠AC時，猜想四邊形ADCE形狀，并加以證明；

（2）如圖，若添加“AB=AC”，其他條件不變，求證：四邊形ADCE為矩形；

（3）在（2）的條件下，當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是一個正方形？（只需寫出條件，不需證明）

Answer 1

解：（1）當AB≠AC時，四邊形ADCE為直角梯形，
證明：∵AD平分∠BAC，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，
∴∠DAC+∠CAE=90°，即∠DAE=90°
∵CE⊥AN，∴∠CEN=∠CEA=90°
∴∠DAE=∠CEN，∴AD∥EC，∵AD∥EC，AD≠CE，所以四邊形ADCE為梯形，
又∠DAE=90°，所以是直角梯形．

（2）∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，
由（1）可知，∠DAE=∠CEA=90°
∴四邊形ADCE為矩形．

（3）例如，當AD=BC時，當∠BAC=90°時，當∠BCA=45°時，四邊形ADCE均為正方形．
分析：（1）由題意可知，∠DAE=，即DA⊥AN，又CE⊥AN，但AN與BC關系不確定，只能判斷其為兩個角是直角的四邊形，則第一問可解；
（2）增加AB=AC后可判斷AN∥BC，故由（1）可知其為矩形；
（3）在矩形的基礎上，再加上一組鄰邊相等就行，例如△ABC為等腰直角三角形．
點評：猜想要在一定的理論基礎上進行，不可盲目胡亂猜想，另外要熟練掌握矩形的性質及判定定理．