Question

如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AB=8。半徑為的⊙M與射線BA相切，切點(diǎn)為N，且AN=3。將Rt△ABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后得到Rt△ADE，點(diǎn)B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D、E。

（1）畫出旋轉(zhuǎn)后的Rt△ADE；（只保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）求出Rt△ADE的直角邊DE被⊙M截得的弦PQ的長(zhǎng)度；
（3）判斷Rt△ADE的斜邊AD所在的直線與⊙M的位置關(guān)系，并說明理由。

Answer 1

解：（1）圖“略”；
（2）設(shè)⊙M與DE的交點(diǎn)為P、Q，連結(jié)MP、MN，過M作MF⊥DE于F，則PQ=2PF，
在Rt△ABC中，AC=AB=4，所以，AE=AC=4，NE=AE-AN=4-3=1，
在Rt△PFM中，PF==，
所以PQ=2，
（3）AD與⊙M相切；
過點(diǎn)M作MH⊥AD，
在Rt△ANM中，tan∠MAN=，所以，∠MAN=30°，
因?yàn)椤螪AE=∠BAC=60°，所以∠MAD=∠MAN=30°，所以，MH=MN，
所以，AD與⊙M相切。