Question

【題目】在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，小輝將一塊矩形紙片對(duì)折，使與重合，得到折痕，把紙片展開(kāi)，再一次折疊紙片，使點(diǎn)落在上，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得到折痕.同時(shí)，得到了線段.

（1）如圖，若點(diǎn)剛好落在折痕上時(shí)，

①過(guò)作，求證：；

②求的度數(shù)；

（2）如圖，當(dāng)為射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，已知，，若的直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）①見(jiàn)解析；②；（2）或.

【解析】

（1）①連接AN，首先由折疊易知△ABM≌△NBM，且EF⊥AB，E為AB中點(diǎn)，從而證得△BAN為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到∠NBG=30°即可；；
②由①可得∠NBM=30°，從而求得∠BMN=60°，即可求得∠AMN的值；
（2）根據(jù)四邊形ABCD為矩形得到∠A=∠MNB=90°，然后分當(dāng)∠NBC=90°、當(dāng)∠BNC=90° N在矩形ABCD內(nèi)部、當(dāng)∠BNC=90° N在矩形ABCD外部時(shí)三種情況利用勾股定理求得結(jié)論即可．

①證明：連接AN，

∵由折疊易知△ABM≌△NBM，且EF⊥AB，E為AB中點(diǎn)，

∴AB=BN，NA=BN，
∴△BAN為等邊三角形，
∴∠ABN=60°，

∵∠ABC=90°，
∴∠NBG=30°；

∵∠NGB=90°，

∴

②由①得：△BAN為等邊三角形，
∴∠ABN=60°，
由折疊得，∠NBM=∠ABM=30°，∠MNB=∠BAM=90°，

∴∠BMN=∠BMA=60°.

∴=120°

（2）∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠A=∠MNB=90°，
①當(dāng)∠NBC=90°，∠NCB=90°都不符合題意，舍去，
②當(dāng)∠BNC=90°，N在矩形ABCD內(nèi)部，
∵∠BNC=∠MNB=90°，
∴M、N、C三點(diǎn)共線，
∵AB=BN=3，BC=5，∠BNC=90°
∴NC=4
設(shè)AM=MN=x
∵MD=5-x，MC=4+x，
∴在Rt△MDC中，CD2+MD2=MC2，
32+（5-x）2=（4+x）2，
解得x=1；
③當(dāng)∠BNC=90° N在矩形ABCD外部時(shí)，
∵∠BNC=∠MNB=90°，
∴M、C、N三點(diǎn)共線，
∵AB=BN=3，BC=5，∠BNC=90°，
∴NC=4，
設(shè)AM=MN=y，
∵MD=y-5，MC=y-4，
∴在Rt△MDC中 ，CD2+MD2=MC2
32+（y-5）2=（y-4）2，
解得y=9，
綜上所述：當(dāng)AM=1或9時(shí)△NBC是直角三角形．