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        1. 已知在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,P為對角線AC上一點,過P作BP的垂線交直線AD于點Q,若△APQ為等腰三角形,則AP的長度為
          18
          5
          或1.
          18
          5
          或1.
          分析:分為兩種情況:①點Q在AD上時,∠AQP是鈍角,只有AQ=AP,求出BQ垂直平分AP,證△ABE∽△ACB,得出
          AB
          AC
          =
          AE
          AB
          ,求出AE即可;②點Q在DA延長線上,顯然∠QAP是鈍角,有AQ=AP,∠Q=∠APQ,求出CP=CB=5,即可求出AP=5-4=1.
          解答:
          解:分為兩種情況:①點Q在AD上時,∠AQP是鈍角,只有AQ=AP,
          即∠QAP=∠QPA,
          ∵四邊形ABCD是矩形,
          ∴∠ABC=∠BAD=90°,
          ∵BP⊥PQ,
          ∴∠BPQ=90°,
          ∴∠BAP=∠BPA,
          ∴AB=BP,
          即BQ垂直平分AP,
          ∴AE=EP,
          ∵∠ABC=∠AEB,∠BAE=∠BAE,
          ∴△ABE∽△ACB,
          AB
          AC
          =
          AE
          AB
          ,
          3
          5
          =
          AE
          3
          ,
          ∴AE=
          9
          5

          ∴AP=2AE=
          18
          5
          ;
          ②在Rt△ABC中,AB=3,∠ABC=90°,BC=4,由勾股定理得:AC=5,
          點Q在DA延長線上,顯然∠QAP是鈍角,有AQ=AP,∠Q=∠APQ,
          ∵∠Q+∠AEQ=∠PBE+∠PEB=90°,
          ∴∠Q=∠PBE=∠APQ
          ∵∠APQ+∠BPC=∠PBE+∠PBC=90°
          ∴∠BPC=∠PBC,
          ∴CP=CB=5,
          ∴AP=5-4=1,
          故答案為:
          18
          5
          或1.
          點評:本題考查了矩形性質(zhì),勾股定理,相似三角形的性質(zhì)和判定的應用,主要考查學生的推理和計算能力,注意要進行分類討論呀.
          練習冊系列答案
          相關(guān)習題

          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

          如圖,已知在矩形ABCD中,AD=8,CD=4,點E從點D出發(fā),沿線段DA以每秒1個單位長的速度向點A方向移動,同時點F從點C出發(fā),沿射線CD方向以每秒2個單位長的速度移動,當B精英家教網(wǎng),E,F(xiàn)三點共線時,兩點同時停止運動.設(shè)點E移動的時間為t(秒).
          (1)求當t為何值時,兩點同時停止運動;
          (2)設(shè)四邊形BCFE的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出t的取值范圍;
          (3)求當t為何值時,以E,F(xiàn),C三點為頂點的三角形是等腰三角形;
          (4)求當t為何值時,∠BEC=∠BFC.

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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

          已知在矩形ABCD中,AB=4,BC=
          25
          2
          ,O為BC上一點,BO=
          7
          2
          ,如圖所示,以BC所在直線為x軸,O為坐標原點建立平面直角坐標系,M為線段OC上的一點.
          (1)若點M的坐標為(1,0),如圖①,以O(shè)M為一邊作等腰△OMP,使點P在矩形ABCD的一邊上,則符合條件的等腰三角形有幾個?請直接寫出所有符合條件的點P的坐標;
          (2)若將(1)中的點M的坐標改為(4,0),其它條件不變,如圖②,那么符合條件的等腰三角形有幾個?求出所有符合條件的點P的坐標;
          (3)若將(1)中的點M的坐標改為(5,0),其它條件不變,如圖③,請直接寫出符合條件的等腰三角形有幾個.(不必求出點P的坐標)
          精英家教網(wǎng)精英家教網(wǎng)精英家教網(wǎng)

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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

          已知在矩形ABCD中,AC=12,∠ACB=15°,那么頂點D到AC的距離為
           

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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

          (2012•德慶縣一模)如圖,已知在矩形ABCD中,E是AD上的一點,連接EC,BC=CE,BF⊥EC于點F.
          求證:△ABE≌△FBE.

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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

          如圖,已知在矩形ABCD中,AD=8cm,CD=4cm,點E從點D出發(fā),沿線段DA以每秒1cm的速度向點A方向移動,同時點F從點C出發(fā),沿射線CD方向以每秒2cm的速度移動,當B、E、F三點共線時,兩點同時停止運動.設(shè)點E移動的時間為t(秒),
          (1)求證:△BCF∽△CDE;
          (2)求t的取值范圍;
          (3)連接BE,當t為何值時,∠BEC=∠BFC?

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