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        1. 如圖,已知在矩形ABCD中,AD=8,CD=4,點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā),沿線段DA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A方向移動(dòng),同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā),沿射線CD方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度移動(dòng),當(dāng)B精英家教網(wǎng),E,F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí),兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)E移動(dòng)的時(shí)間為t(秒).
          (1)求當(dāng)t為何值時(shí),兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng);
          (2)設(shè)四邊形BCFE的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出t的取值范圍;
          (3)求當(dāng)t為何值時(shí),以E,F(xiàn),C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形;
          (4)求當(dāng)t為何值時(shí),∠BEC=∠BFC.
          分析:(1)B,E,F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí),滿足△FED∽△FBC,結(jié)合行程問題可以得出關(guān)于t的比例式,求出t的值;
          (2)求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式,可以將四邊形BCFE的面積分成S△BCE,S△BCF兩部分,結(jié)合(1)確定t的取值范圍;
          (3)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì),分EF=EC,EC=FC,EF=FC三種情況討論;
          (4)∠BEC=∠BFC.可以轉(zhuǎn)化為∠BEC=∠BCE.即BE=BC.得出關(guān)于t的方程,求出值.
          解答:精英家教網(wǎng)解:(1)當(dāng)B,E,F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí),兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),如圖所示.(1分)
          由題意可知:ED=t,BC=8,F(xiàn)D=2t-4,F(xiàn)C=2t.
          ∵ED∥BC,
          ∴△FED∽△FBC.
          FD
          FC
          =
          ED
          BC

          2t-4
          2t
          =
          t
          8

          解得t=4.
          ∴當(dāng)t=4時(shí),兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng);(3分)

          (2)∵ED=t,CF=2t,
          ∴S=S△BCE+S△ECF=
          1
          2
          ×8×4+
          1
          2
          ×2t×t=16+t2
          即S=16+t2.(0≤t<4);(6分)

          (3)①若EF=EC時(shí),則點(diǎn)F只能在CD的延長(zhǎng)線上,
          ∵EF2=(2t-4)2+t2=5t2-16t+16,
          EC2=42+t2=t2+16,
          ∴5t2-16t+16=t2+16.
          ∴t=4或t=0(舍去);
          ②若EC=FC時(shí),
          ∵EC2=42+t2=t2+16,F(xiàn)C2=4t2
          ∴t2+16=4t2
          .∴t=
          4
          3
          3
          ;
          ③若EF=FC時(shí),
          ∵EF2=(2t-4)2+t2=5t2-16t+16,F(xiàn)C2=4t2,
          ∴5t2-16t+16=4t2
          ∴t1=8+4
          3
          (舍去),t2=8-4
          3

          ∴當(dāng)t的值為4,
          4
          3
          3
          ,8-4
          3
          時(shí),以E,F(xiàn),C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形;(9分)

          (4)在Rt△BCF和Rt△CDE中,
          ∵∠BCF=∠CDE=90°,
          BC
          CD
          =
          CF
          ED
          =2

          ∴Rt△BCF∽R(shí)t△CDE.
          ∴∠BFC=∠CED.                                     (10分)
          ∵AD∥BC,
          ∴∠BCE=∠CED.若∠BEC=∠BFC,則∠BEC=∠BCE.即BE=BC.
          ∵BE2=t2-16t+80,
          ∴t2-16t+80=64.
          ∴t1=8+4
          3
          (舍去),t2=8-4
          3

          ∴當(dāng)t=8-4
          3
          時(shí),∠BEC=∠BFC.                                       (12分)
          點(diǎn)評(píng):本題數(shù)形結(jié)合,綜合性較強(qiáng),將行程問題與矩形有機(jī)的整合,有一定的思維容量.
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          (1)在線段AD上是否存在不同于P的點(diǎn)Q,使得QC⊥QE?若存在,求線段AP與AQ之間的數(shù)量關(guān)系;若不存在,請(qǐng)說明理由;
          (2)當(dāng)點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)時(shí),對(duì)應(yīng)的點(diǎn)E也隨之在AB上運(yùn)動(dòng),求BE的取值范圍.

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          (2)求DF的長(zhǎng)度;
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          2
          5
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          5

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          (2)請(qǐng)你求出EF的長(zhǎng).

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